Re: [obm-l] O numero fi

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

From: "Cláudio (Prática)" <claudio@praticacorretora.com.br>
> Caro Paulo:
>
> Ficaria muito satisfeito se você mostrasse onde eu errei na solução do
> Problema 1.
>
> > PROBLEMA 1) "fi" e uma das solucoes de x^2 + x - 1=0. Exiba uma
sequencia
> de
> > numeros reais, estritamente crescente, tal que ela seja simultaneamente
> uma
> > PA e uma PG. Esta sequencia e unica ou existe
> > outra(s) ?
> >
> Seja A(0) = A
> Então, para todo n: A(n) = A + D*n = A*Q^n com:
> D > 0
> e
> Q > 1 se A > 0   ou   0 < Q < 1 se A < 0 (de qualquer forma, Q <> 1).
>
> n = 1: A(1) = A + D = A*Q
> n = 2: A(2) = A + 2D = A*Q^2
>
> (1) ==> D = A*(Q - 1)
> (2) - (1)  ==> D = A*Q*(Q-1)  ==> A*(Q-1) = A*Q*(Q-1)
>
> A = 0 ==> PG é constante ==> contradição ==> A <> 0 ==>
> Q-1 = Q*(Q-1)
> Como Q <> 1 ==> Q = 1 ==> contradição
>
> Assim, não existe tal sequência. De fato, não existem sequer 3 números que
> formem, ao mesmo tempo, uma PA e uma PG estritamente crescentes.
>
> *************

Olá Cláudio!

Se três números A, B, C estão em PA e PG:

B - A = C - B ou 2B = A + C
e B / A = C / B ou B^2 = AC

É preciso que x^2 - 2B x + B^2 = 0 tenha solução x = A, C diferentes de B.
Dá para se escrever essa equação como (x - B)^2, que implicaria x = B = A =
C. Concordo com a sua solução.

>
> > PROBLEMA 2) Seja 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., An, ... a sequencia de
> fibonaci.
> > Qual o LIM An/An-1 quando n tende ao infinito ?
> >
> O n-ésimo termo da sequência de Fibonacci tem uma fórmula fechada bem
> conhecida e dada por:
> A(n) = (1/raiz(5))*[U^n - (-1/U)^n]
> onde U = (1+raiz(5))/2
> (A(1) = A(2) = 1)
>
> Assim,
> A(n)/A(n-1) =
> [U^n - (-1/U)^n] / [U^(n-1) - (-1/U)^(n-1)] =
> [U - (-1)^n/U^(2n-1)] / [1 - (-1)^(n-1)/U^(2n-2)]
>
> Logo, lim A(n)/A(n-1) = [U - 0]/[1 - 0] = U = (1+raiz(5))/2
>
> ************
>
> Um abraço,
> Claudio.

Se F_0 = F_1 = 1 e F_(n+2)=F_(n+1)+F_n podemos definir

A_0 = [ F_0 ; F_1 ]^(T)
A_(n+1) = A * A_n ^(T)
[ 1 ; 1 ]
[ 1 ; 0 ] * A_n ^(T)

É fácil mostrar por indução, basta supor a hipótese para A_n e multiplicar
por A para obter A_(n+1) usando a recursão que define F_n, que A_n = [ F_n ;
F_(n+1) ]^(T). O problema de calcular o n-ésimo número de Fibonacci F_n pode
ser resolvido canculando-se a potência A^n da matriz A, e multiplicando o
resultado por A_0, pois

A_n = A*A_(n-1) = A*A*A_(n-1) = ... = A^n*A_0

o assunto tem tudo a ver com Álgebra Linear. Eu recomendo o livro do Gilbert
Strange que fala sobre aplicações do assunto.

Abraço!

A matriz A é simétrica e pode ser diagonalizada

A = Q^(-1)DQ onde D é a matriz diagonal que tem (1+5^(1/2))/2 e
(1-5^(1/2))/2 como elementos da diagonal

Daí A^n = Q^(-1)D^nQ.

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