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Caro JP:
Não tenho a solução ainda, mas acho que
uma idéia que pode funcionar é olhar para det(A)
como sendo uma função racional dos i's e dos j's (tomados como variáveis - como
os x's num polinômio).
Para evitar confusão, podemos considerar a matriz
nxn B, tal que B(i,j) = 1/(X(i) + Y(j)).
Assim, det(B) será uma função racional nas 2n
variáveis X(i), Y(j) (1 <= i,j <= n)
Após calcular det(B) e reduzi-lo um denominador
comum, podemos tentar provar que:
1) O denominador de det(B) será igual ao produto
dos n^2 termos da forma [X(i) + Y(j)] = 1/B(i,j) ==>
grau(denominador) = n^2;
2) O numerador de det(B) será divisível
por [X(j) - X(i)] e [Y(j) - Y(i)], para todo i e j com 1 <= i <
j <= n.
A afirmativa (2) terá levado em conta um fator
do numerador de grau n^2 - n.
Entretanto, det(B) é igual à soma algébrica de
n! termos cujos denominadores têm grau n. Logo grau(det(B)) = -n.
Assim:
grau(det(B)) = grau(numerador) -
grau(denominador) ==>
-n = grau(numerador) - n^2
==>
grau(numerador) = n^2 - n ==>
numerador = K * PRODUTÓRIO [X(j) - X(i)]*[Y(j) -
Y(i)]
1 <= i < j <= n
onde K é uma constante.
Agora, resta provar que K = 1. Acho que pode sair
da mesma forma que no determinante de Vandermonde.
Vou pensar um pouco mais.
Bom fim de semana e um abraço,
Claudio.
PS: Aquela solução do x^2+x+p é primo foi um golpe
duro....você acreditaria se eu dissesse que eu tinha justamente acabado de
pensar nela? Eu não.....
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