Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável

[Salvador Addas Zanata <sazanata@xxxxxxxxxx>]

Caro Artur,

Quando voce disse que f era diferenciavel, imaginei que voce estivesse
supondo que f' fosse continua. Eh isso que garante que a G da minha
provinha seja continua em I^2. Na verdade, fora da diagonal identidade,
ela eh sempre continua, basta f ser continua. 

Pra provar a continuidade de G em um ponto da forma (x,x), usamos que f'
eh funcao continua.


G(x,x)=f'(x), assim:


G(a,b)-G(x,x)=[G(a,b)-G(x,b)]+[G(x,b)-G(x,x)].


Agora e so usar a definicao de continuidade e tentar encontrar o delta que
sirva para um epsilon dado. 



A f que o seu amigo exibiu tem derivada 0 em x=0, mas a derivada nao eh
continua em x=0, pois a derivada de f eh (p/ x<>0):

x^2(9/2-3/2cos(2/x^2))-2sin(2/x^2)


Assim, para valores convenientes de x arbitrariamente proximos do zero,
essa funcao fica maior que 1, por exemplo, logo f'nao pode ser continua.


Mas se voce queria saber se a afirmacao era verdade para f apenas
diferenciavel, a resposta como voce provou exibindo esse exemplo eh nao.


Um abraco,

Salvador 


On Fri, 7 Feb 2003, Artur Costa Steiner wrote:

> > Caro Artur,
> > 
> > 
> > Observe que uma hipotese crucial para a provinha abaixo eh que f'(z)
> nao
> > seja nem maximo, nem minimo da derivada de f no intervalo. E x^3 tem
> por
> > derivada 3x^2, logo o zero nao se aplica ao teorema, pois eh minimo da
> > derivada da f, qualquer que seja o intervalo que contenha a origem.
> Acho
> > que a prova esta correta.
> > 
> > 
> > Abraco,
> > 
> > Salvador
>  
> OK, de fato vc fez esta hipótese e me passou desapercebido. Eu realmente
> me confundi na sua prova. A função G é de fato contínua em I^2? 
>  
> Eu conversei sobre esta questão com uns amigos e um deles me deu como
> contra-exemplo a função f(x) = x^3 + x^3*[sin(1/x^2)]^2, se x<>0, e 0 se
> x=0. (não sei como que ele sacou esta função....).  Verificamos que
> f’(0)=0. Verificamos também que f é positiva para x>0 e negativa para
> x<0, do que deduzimos que não existem x e y que satisfaçam à condicão
> procurada. Com algum algebrismo podemos constatar que em qualquer
> vizinhança de 0 f’ assume valores positivos e negativos, de modo que
> f’(0)=0 não é ponto extremo de f’. 
>  
> Um abraço
> Artur
> 

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