[obm-l] Re: [obm-l] Função Iterada

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Claudio e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

E verdade. Verifiquei a mensagem original do Conway. O enunciado correto e : 
Seja f(x)=x^2 + x + 1. Mostre que para todo natural N > 1, os numeros N, 
f(N), f(f(N)), f(f(f(N))), ... sao primos entre si.

Um problema trivial. Basta analisar o MDC(N,f(N)).

O problema abaixo nao e facil. Este problema me foi proposto a cerca de 8 
anos atras e a pessoa me contou que o problema havia sido proposto ao Euler, 
que nao o resolveu. Mas nao sei se esta historia e verdadeira.

PROBLEMA : Num poligono convexo de N lados e tal que duas diagonais 
quaisquer nao sao paralelas. Quantos pontos no exterior do poligono sao 
pontos de interseccao de diagonais ?

OBS : Considere que nenhum ponto ( interior ou exterior ao poligono ) e 
ponto de interseccao de mais de duas diagonais.

SUJESTAO : Antes de fazer uma sugestao, gostaria de registrar que o nosso 
colega Alexandre Tessarolo resolveu esta questao aqui nesta lista. A solucao 
dele nao e essa que vou sugerir.

De um vertice partem N-3 diagonais. Se N e par havera uma unica diagonai
N-3 diagonais se encontram. Afora este caso, duas diagonais quaisquer se 
encontraram ou fora ou dentro do poligono.

IMAGINE as diagonais que partem de um vertice. Considerando qualquer uma 
delas em particular, observe que ela cinde o poligono em dois outros 
"sub-poligonos" que tem um lado em comum ( que e a diagonal sob analise ). 
Qualquer par de diagonais, uma de cada um dos "sub-poligonos" representam um 
ponto de interseccao no exterior, a excecao daqueles pares que tem um 
vertice comum.

Finalmente, para que nao surjam dificuldades devido a paridade de N, use 
[N], a funcao maximo inteiro : o maior inteiro que nao supera N. Lembre-se 
tambem que em somatorios complicados, o uso de numeros binomiais costuma 
facilitara as coisas.

Um Grande Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
5,1214,060203

>From: "Cláudio \(Prática\)" <claudio@praticacorretora.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: [obm-l] Função Iterada
>Date: Tue, 4 Feb 2003 20:35:22 -0200
>
>Caro Paulo:
>
>Acho que o enunciado abaixo não está correto, pois encontrei um
>contra-exemplo: N = 4
>
>"Seja f(x)=x^2 + x + 1. Prove que para todo numero natural N > 1, os 
>numeros
>f(N), f(f(N)), f(f(f(N))), f(f(f(f(N)))), ... sao dois a dois primos entre
>si."
>
>N = 4 ==>
>f(4) = 4^2 + 4 + 1 = 21 ==>
>f(f(4)) = 21^2 + 21 + 1 = 463  ==>
>f(f(f(4))) = 463^2 + 463 + 1 = 214.833
>
>Mas MDC( f(4) , f(f(f(4))) ) = MDC( 21, 214.833 ) = 3
>


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