Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável

[Salvador Addas Zanata <sazanata@xxxxxxxxxx>]

Oi Claudio,

Seja I=[a,b] e z em I. 

Defina G(x,y)=(f(x)-f(y))/(x-y) uma funcao de 2 variaveis em
IxI da seguinte forma:

Se x<>y, nao ha problema.

Se x=y, G(x,x)=f'(x).



Eh claro que G eh continua, porque f eh derivavel,  G(x,x)=f'(x) e 
G(x,y)=G(y,x).

Vamos supor que {min f' em I} < f'(z) < {max f' em I}.

Nesse caso existe (x0,y0) e (x1,y1) tais que:

1) G(x0,y0)<f'(z)<G(x1,y1).

2) x0>y0 e x1>y1.

 
Una agora os pontos (x0,y0) e (x1,y1) por uma reta. Como essa reta nao
cruza a diagonal, pelo teorema do valor intermediario segue o que voce
quer. O ponto crucial eh garantir que a reta nao cruza a diagonal.


Abraco,

Salvador






On Wed, 5 Feb 2003, Cláudio (Prática) wrote:

> Caro Artur:
> 
> Tentando resolver os seus problemas (especificamente, com as voltas dos "se
> e somente se") eu me deparei com uma dúvida:
> 
> Tome uma função f, diferenciável num intervalo aberto I.
> É verdade que dado qualquer z em I, existem x e y em I tais que:
> f'(z) = [f(x)-f(y)]/(x-y) ?
> Este seria uma espécie de recíproco do teorema do valor médio.
> 
> Um abraço,
> Claudio.
> 
> ----- Original Message -----
> From: "Artur Costa Steiner" <artur@opendf.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Wednesday, February 05, 2003 6:09 AM
> Subject: [obm-l] Função uniformemente diferenciável
> 
> 
> Aos amigos que curtem Análise Real proponho o seguinte problema, que
> acho bastante interessante. Antes, porém, lembro o conceito não muito
> difundido de função uniformemente diferenciável. Dizemos que f é
> uniformemente diferenciável em um intervalo I se, dado qualquer eps>0,
> existir d>0 tal que, se x e y estiverem em I e se 0 < |x-y| < d, então
> |[f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(x)|< eps. Observamos aqui a similaridade com
> continuidade uniforme. O delta depende apenas do eps, vale dizer, um
> mesmo delta é bom para todos os elementos do intervalo.
> 
> Mostre que f uniformemnte diferenciável em um intervalo I se, e somente
> se, f' for uniformemente contínua em I.
> 
> Ah, outra conclusão simples mas interessante. Mostre que se f for
> diferenciável em I, então f' é limitada em I se, e somente se, f
> satisfizer neste intervalo à condicão de Lipschitz. Lembro que f
> satisfaz à condicão de Lipschitz em I se existir uma constante K>0 tal
> que |f(x) - f(y)| <= K |x-y| para todos x e y em I.
> 
> Ah, para terminar, espero não estar sendo chato... É imediato que se f
> satisfizer à condicão de Lipschitz em I então f é uniformemente contínua
> em I. Basta fazer delta = eps/K. Mas a recíproca não é verdadeira. Um
> contra exemplo interessante é f(x) = raiz(x) em [0, 1].
> 
> Abraços.
> Artur
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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