[obm-l] Função uniformemente diferenciável

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Aos amigos que curtem Análise Real proponho o seguinte problema, que
acho bastante interessante. Antes, porém, lembro o conceito não muito
difundido de função uniformemente diferenciável. Dizemos que f é
uniformemente diferenciável em um intervalo I se, dado qualquer eps>0,
existir d>0 tal que, se x e y estiverem em I e se 0 < |x-y| < d, então
|[f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(x)|< eps. Observamos aqui a similaridade com
continuidade uniforme. O delta depende apenas do eps, vale dizer, um
mesmo delta é bom para todos os elementos do intervalo.

Mostre que f uniformemnte diferenciável em um intervalo I se, e somente
se, f' for uniformemente contínua em I.

Ah, outra conclusão simples mas interessante. Mostre que se f for
diferenciável em I, então f' é limitada em I se, e somente se, f
satisfizer neste intervalo à condicão de Lipschitz. Lembro que f
satisfaz à condicão de Lipschitz em I se existir uma constante K>0 tal
que |f(x) - f(y)| <= K |x-y| para todos x e y em I.

Ah, para terminar, espero não estar sendo chato... É imediato que se f
satisfizer à condicão de Lipschitz em I então f é uniformemente contínua
em I. Basta fazer delta = eps/K. Mas a recíproca não é verdadeira. Um
contra exemplo interessante é f(x) = raiz(x) em [0, 1]. 

Abraços.
Artur

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