[obm-l] Re: [obm-l] Equações diferenciais

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Jan 10, 2003 at 02:42:07AM -0200, Henrique P. Sant'Anna Branco wrote:
> Hi ALL,
> 
> O que garante que todas as equações diferenciais sujeitas a uma condição
> inicial possuem apenas uma solução?
> Gostaria de algo formal, pois a noçao intuitiva eu tenho.

O que você quer é o teorema de existência e unicidade se soluções de EDOs.
Aliás a sua formulação do teorema foi omissa nas hipóteses. Segue um enunciado
correto (mas longe de ser o mais geral).

 Seja F: A -> R uma função suave onde A é um subconjunto aberto de R^2
 com (x0,y0) pertencente a A. Então existe epsilon > 0 e uma função suave
 f: (x0 - epsilon, x0 + epsilon) -> R tal que f(x0) = y0, tal que (x,f(x))
 pertence a A para todo x no domínio de f e f'(x) = F(x,f(x)) para todo x
 no domínio de f. Além disso se epsilon1 < epsilon e
 g: (x0 - epsilon1, x0 + epsilon1) -> R for tal que g(x0) = y0,
 (x,g(x)) pertence a A para todo x no domínio de g e g'(x) = F(x,g(x))
 para todo x no domínio de g então g é igual à restrição de f ao domínio de g.

A demonstração é um pouco técnica e pode ser encontrada em qualquer livro
sobre EDOs.

[]s, N.
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