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[obm-l] Baltic Way 1990 em Frances

To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx, teoremalista@xxxxxxxxxxxxxxxxxx, teoremalista@xxxxxxxxxxxxxxx
Subject: [obm-l] Baltic Way 1990 em Frances
From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2002@xxxxxxxxxxxx>
Date: Thu, 9 Jan 2003 17:35:47 -0300 (ART)
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Baltic Way 1990, Riga, Lettonie

Durée : 4 heures, par équipes de cinq élèves libres de communiquer

Exercice 1

Les entiers $\{1,2,\ldots,n\}$ sont inscrits, dans un certain ordre, sur la circonférence d'un cercle. Quelle est la plus petite valeur possible de la somme des valeurs absolues des différences entre entiers voisins ?

Exercice 2

On énumère les carrés d'un papier quadrillé de la manière suivante : $\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c} $\ddots$ & & & & & \\ \hline 10 & 14 & $\ddots$ & & & \\ \hline 6 & 9 & 13 & $\ddots$ & & \\ \hline 3 & 5 & 8 & 12 & $\ddots$ & \\ \hline 1 & 2 & 4 & 7 & 11 & $\ddots$ \\ \hline \end{tabular}$
Construire un polynôme à deux variables m et n tel que pour tous m, n, le nombre écrit dans le carré de coordonnées soit égal à .

Exercice 3

Soient , , et pour tout n entier :
$a_{n+1}=\frac{a_n+c}{1-a_nc}$

Est-il possible que les 1990 premiers termes $a_0,a_1,\ldots,a_{1989}$ soient strictement positifs, et que $a_{1990}<0$ ?

Exercice 4

Montrer que, pour tous réels $a_1,a_2,\ldots,a_n$ :
$\sum_{i,j=1}^n \frac{a_ia_j}{i+j-1} \geq 0$

Exercice 5

Soit $\ast$ une opération donnée qui à tout couple de réels, associe un réel $a\ast b$ (par exemple $a \ast b=a+b^2-17$ ). Construire une équation qui est vraie (pour toutes les valeurs possibles des variables) dès que l'opération $\ast$ est commutative ou associative, mais qui peut être fausse en général.
( $\ast$ est commutative si on a $a\ast b=b \ast a$ pour tous a et b ; elle est associative si on a $a\ast (b\ast c)=(a \ast b)\ast c$ pour tous a, b, c.)

Exercice 6

Soit un quadrilatère ABCD tel que et $\widehat{A}+\widehat{B}=120^\circ$ . Soit P un point extérieur au quadrilatère, tel que A et P soient situés de part et d'autre de la droite et que le triangle DPC soit équilatéral.
Montrer que APB est équilatéral.

Exercice 7

Le milieu de chaque côté d'un pentagone convexe est relié par un segment au point d'intersection des médianes du triangle formé par les trois autres sommets du pentagone. Montrer que ces cinq segments se rencontrent en un même point.

Exercice 8

Soit P un point du cercle circonscrit à un triangle ABC. On sait que les pieds des perpendiculaires abaissées de P sur les droites AB, AC, BC sont alignés (droite de Simson de P). Montrer que les droites de Simson de deux points diamétralement opposés sont perpendiculaires.

Exercice 9

Deux triangles isométriques sont inscrits dans une ellipse. Sont-ils nécessairement symétriques par rapport à un axe ou au centre de l'ellipse ?

Exercice 10

Sur une droite t, on marque un segment AB de longueur 1. Puis, on déplace ce segment dans le plan de telle sorte qu'il reste toujours parallèle à t, que les trajectoires de A et B ne s'intersectent pas et que, finalement, le segment revient sur t. Quelle est la distance maximale à laquelle le point A peut se trouver de sa position initiale ?

Exercice 11

Montrer que la valeur absolue d'une racine entière d'un polynôme à coefficients entiers ne peut pas dépasser la plus grande des valeurs absolues des coefficients.

Exercice 12

Soient m et n des entiers supérieurs ou égaux à 1. Montrer que est divisible par 83 si et seulement si est divisible par 83.

Exercice 13

Montrer que l'équation a une infinité de solutions parmi les entiers positifs.

Exercice 14

Existe-t-il 1990 nombres premiers entre eux tels que toutes les sommes possibles d'au moins deux de ces nombres sont des entiers composés ?
(Un entier est dit composé s'il est le produit d'au moins deux nombres premiers, non nécessairement distincts.)

Exercice 15

Montrer qu'aucun des nombres $F_n=2^{2^n}+1$ , $n=0,1,2,\ldots$ , n'est le cube d'un entier.

Exercice 16

Une ligne polygonale est tracée sur un papier quadrillé de telle sorte que ses segments se trouvent sur les lignes du quadrillage. La taille du quadrillage est égale à 1, les longueurs des segments de la ligne polygonale sont tous des nombres impairs. La ligne est refermée.
Montrer que le nombre de segments de la ligne est divisible par 4.

Exercice 17

Deux tas de bonbons comprennent respectivement 72 et 30 bonbons. Deux élèves prennent, chacun leur tour, des bonbons dans l'un des tas. À chaque fois, le nombre de bonbons pris dans un tas doit être un multiple du nombre de bonbons dans l'autre tas. Est-ce que celui qui joue en premier, ou bien celui qui joue en second, peut toujours s'arranger pour prendre le dernier bonbon de l'un des deux tas ?

Exercice 18

Des entiers entre 1 et 101 sont inscrits dans chacune des cases d'une grille carrée $101\times 101$ , de telle sorte que chaque entier est utilisé 101 fois. Montrer qu'il existe soit une colonne, soit une ligne contenant au moins 11 nombres différents.

Exercice 19

Quel est le plus grand nombre possible de sous-ensembles de $\{1,2,\ldots,2n+1\}$ tels que l'intersection de deux quelconques (distincts) de ces sous-ensembles soit constituée d'un ou plusieurs entiers consécutifs ?

Exercice 20

Un exercice de créativité : proposer un problème de compétition original, ainsi que sa solution.