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Caros colegas da lista:
Estou tentando resolver o problema proposto no. 74 da Eureka no. 15:
"Ache todas as funções f: R --> R (R: conjunto dos reais) tais
que:
f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)cos(y) para todos x, y em R."
e cheguei a uma solução (descrita abaixo) sob a hipótese de que f é
diferenciável em toda a reta.
O meu problema agora é:
1. Achar todas as funções que não sejam diferenciáveis em toda a reta mas
que satisfaçam a relação do problema,
OU
2. Provar que qualquer função que satisfaz a relação é diferenciável em
toda a reta.
Eu suspeito que a segunda alternativa é verdadeira, mas não consegui
provar.
Qualquer ajuda será muito apreciada.
Um abraço,
Claudio.
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Solução supondo que f é diferenciável em toda a reta:
Derivando em relação a x: f'(x+y) + f'(x-y) = 2f'(x)cos(y)
Derivando em relação a y: f'(x+y) - f'(x-y) = -2f(x)sen(y)
Assim, resolvendo para f'(x+y) e f'(x-y):
f'(x+y) = f'(x)cos(y) - f(x)sen(y) (i)
f'(x-y) = f'(x)cos(y) + f(x)sen(y)
Fazendo x = 0 em (i): f'(y) = f'(0)cos(y) - f(0)sen(y)
Integrando: f(y) = f'(0)sen(y) + f(0)cos(y) + K
Fazendo y = 0: f(0) = f'(0)sen(0) + f(0)cos(0) + K ==>
f(0) = f(0) + K ==>
K = 0 ==>
f(y) = f'(0)sen(y) + f(0)cos(y).
Ou seja,
f(x) = Asen(x) + Bcos(x), onde A = f'(0) e B = f(0).
Usando identidades trigonométricas elementares eu verifiquei que quaisquer
que sejam A e B, esta f satisfaz a relação do problema.
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