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O problema é: Prove que se um triângulo tem duas
bissetrizes internas iguais, então ele é isósceles.
Há um tempo atrás o Eder Albuquerque tentou a lei
dos senos neste problema e chegou à expressão:
sen(2a+b)/sen2a = sen(a+2b)/sen2b, com a e b entre
0 e 90 graus (2a e 2b são os ângulos da base do triângulo)
Eu testei numa planilha e estou convencido de que
esta equação implica em a = b (para a e b agudos), mas não consegui provar
analiticamente (taí um bom exercício envolvendo identidades
trigonométricas)
Também acho muito provável que haja uma solução não
trigonométrica, mediante alguma construção auxiliar "macetosa" que possibilite
uma demonstração direta, ou alguma coisa na linha de "num triângulo, à menor
bissetriz interna corresponde o maior ângulo", que eu acho que é verdade mas não
tenho a prova, e que viabilize uma demonstração por contradição.
Assim como no seu problema do triângulo isosceles
de 20, 80 e 80 graus, é interessante que enunciados tão simples envolvam
demonstrações tão complicadas, mas taí o Último Teorema de Fermat....matemática
é assim mesmo....
Um abraço,
Claudio.
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