Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Triângulos-continuação

A demonstração da volta (no triângulo ABC, sejam BD e CE bissetrizes dos ângulos ABC e ACB, respectivamente; se BD = CE então ABC é isosceles) sai por meio do uso de dois teoremas:

1. A bissetriz de um ângulo divide o lado oposto a este ângulo em partes proporcionais aos outros dois lados; e

2. Lei dos cossenos.

No triângulo ABC, temos: BC = a, AC = b, AB = c, BD = CE = x.

Usando o teorema (1), teremos:

D divide AC em partes proporcionais a AB e BC, ou seja:

AD = b*c/(a+c) CD = a*b/(a+c)

E divide AB em partes proporcionais a AC e BC, ou seja:

AE = b*c/(a+b) BE = a*c/(a+b)

Agora o passo mais importante da demonstração:

Aplicamos a lei dos cossenos aos triângulos AEC e BEC, mas ao invés de usar os ângulos ACE e BCE (que seriam a escolha óbvia, já que que são iguais, pois CE é bissetriz) usamos os ângulos AEC e BEC, que sâo suplementares: cos(AEC) = -cos(BEC) = M.

Em AEC: AC^2 = AE^2 + CE^2 - 2*AE*CE*cos(AEC)

Em BEC: BC^2 = BE^2 + CE^2 - 2*BE*CE*cos(BEC)

Ou seja,

b^2 = [b*c/(a+b)]^2 + x^2 - 2*x*b*c/(a+b)*M

a^2 = [a*c/(a+b)]^2 + x^2 + 2*x*a*c/(a+b)*M

Agora, M não tem nada a ver com o que queremos provar. Assim, a idéia é fazer M desaparecer. Para isso, multiplicamos a primeira equação por a, a segunda por b:

a*b^2 = a*[b*c/(a+b)]^2 + a*x^2 - 2*x*a*b*c/(a+b)*M

b*a^2 = b*[a*c/(a+b)]^2 + b*x^2 + 2*x*a*b*c/(a+b)*M

E somamos as duas equações:

a*b*(a+b) = a*b*c^2/(a+b) + (a+b)*x^2

Dividindo por a+b:

a*b = a*b*c^2/(a+b)^2 + x^2

Resolvendo para x^2:

x^2 = a*b*[ 1 - c^2/(a+b)^2 ]

De maneira inteiramente análoga, usando os triângulos ADB e BDC (sem esquecer que BD = EC = x), obtemos:

x^2 = a*c*[ 1 - b^2/(a+c)^2 ]

Ou seja,

b - b*c^2/(a+b)^2 = c - b^2*c/(a+c)^2 ==>

b - c = b*c*[ c/(a+b)^2 - b/(a+c)^2 ]

Suponhamos agora que b > c. Então, por esta última expressão, teremos que ter, necessariamente:

c/(a+b)^2 > b/(a+c)^2.

No entanto b > c ==> a+b > a+c ==> (a+b)^2 > (a+c)^2 ==> 1/(a+c)^2 > 1/(a+b)^2 ==> b/(a+c)^2 > c/(a+b)^2 ==> CONTRADIÇÃO

Analogamente, se supusermos que b < c também cairemos em contradição.

A única conclusão possível é que b = c, ou seja, AB = AC e ABC é isosceles.

----- Original Message -----

From: Eduardo Estrada

To: Olimpíada Matemática

Sent: Tuesday, December 31, 2002 12:11 AM

Subject: [obm-l] Triângulos-continuação

Olá,

As demonstrações aqui apresentadas do Teorema de que, dado um triângulo ABC, este é isósceles se, e só se, suas bissetrizes são iguais não foram totalmente completas. Isto é, foi demonstrado que, se um triângulo é isósceles, então suas bissetrizes BD e CE são iguais. Agora, falta demonstrar a recíproca, ainda não provada:

1) Tomem-se os triângulos ABD e AEC (adotando o mesmo esquema);

2) BD = CE (hip.);

3) BÂD = CÂE (comum);

4) A partir daqui, não consegui enxergar mais muita coisa e queria também ajuda, lembrando que, na verdade, temos que concluir que AB = AC;

Obrigado,

Eduardo

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