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Caro Eder:
Pode acreditar que os seus dois problemas de
geometria forem difíceis pra mim também.
Repare que nos dois problemas aparecem, de uma
forma ou de outra, ângulos inscritos em circunferências. Na maioria dos
problemas envolvendo ângulos vale a pena checar para ver se alguma
circunferência contém dois ou mais dos ângulos do problema ou, como no caso do
problema 1, se você pode transladar algum ângulo de forma que ele fique inscrito
na mesma circunferência que algum outro.
Outros itens que aparecem com frequência e são a
chave para a solução do problema são quadriláteros inscritíveis, paralelogramos,
triângulos isósceles e semelhança de triângulos. Não existe um método
fixo para se atacar problemas de geometria (especialmente a nível de
olimpíada). No entanto, há uma grande probabilidade que estes problemas envolvam
os elementos acima.
O pior caso é quando você precisa construir uma
reta ou segmento auxiliar a fim de fazer um dos itens acima aparecer. Aí, acho
que só a experiência ajuda...
Como treino, tente os seguintes
problemas:
1) O triângulo ABC é isosceles, com AB = AC. O
ângulo BAC mede 20 graus. Traçam-se os segmento BD e CE, (D em AC e entre A
e C; E em AB e entre A e B) formando, com a base BC, ângulos de 60 e 50
graus, respectivamente. Calcule o valor do ângulo BDE. Dica: construa um
segmento auxiliar que faça aparecer triângulos isósceles ou, com sorte, um
triângulo equilátero.
2) Prove o Teorema de Ptolomeu: Num quadrilátero
inscritível ABCD, vale AB*CD + AD*BC = AC*BD. Dica: um segmento auxiliar bem
construído pode produzir triângulos
semelhantes estratégicos.
3) Dado um triângulo ABC, construa três
circunferências tendo, cada uma, um dos lados do triângulo como diâmetro. Prove
que os pontos de interseção de cada par de circunferências pertence a pelo menos
um dos lados do triângulo.
4) No problema anterior, prove que as três cordas
que unem os pontos de interseção de cada par circunferências são
concorrentes. Que ponto é esse (em relação ao triângulo ABC)?
5) Um triângulo equilátero ABC está inscrito numa
circunferência. Prove que, qualquer que seja o ponto P no arco BC (que não
contém o vértice A), teremos: PA = PB + PC. Dica: use um dos problemas
anteriores.
Um abraço,
Claudio Buffara. |