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Problema 2:
ABCD
é um quadrilátero cíclico. A reta tangente por A encontra CB em
K,e a reta tangente por B encontra DA em M,de maneira que BK=BC e AM=AD.
Mostre que o quadrilátero tem dois lados
paralelos. O resultado estará provado se conseguirmos mostrar
que os ângulos MAB e MDC são iguais.
1) Tome pontos L em AK e N em MB tais que A
esteja entre K e L e que B esteja entre M e N e em seguida use as propriedades dos ângulos e arcos na
circunferência:
Arco AB = KAB = MDB = KCA = MBA
Arco ADC = ABC
Arco BCD = BAD
2) Com as igualdades de ângulos deduzidas acima,
conclua que certos triângulos são semelhantes:
KCA = KAB e CKA = AKB ==>
Triângulos KCA e KAB são semelhantes
==>
AC / AB = KC / KA = KA / KB ==> KA^2
= KB * KC
MDB = MBA e DMB = BMA ==>
Triângulos MBD e MAB são semelhantes
==>
BD / AB = MD / MB = MB / MA ==>
MB^2 = MA * MD
3) Levando em conta que KC = 2 * KB e MD = 2 * MA,
teremos:
KA^2 = 2 * KB^2 e MB^2 = 2 * MA^2
==>
KA / KB = MB / MA =
raiz(2)
Ou seja, AC / AB = KA / KB = MB / MA = BD / AB =
raiz(2)
Assim, AC = BD = AB * raiz(2)
4) Cordas iguais subentendem arcos iguais.
AC = BD ==> Arco ADC = Arco BCD
==>
Ângulo ABC = Ângulo BAD.
5) ABCD é cíclico ==>
ABC + CDA = 180 graus ==>
BAD + CDA = 180 graus
Mas, MAB + BAD = 180 graus (são suplementares)
==>
MAB = CDA = MDC ==>
AB // CD e o resultado está provado.
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