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Prezado Joao Carlos: Este belo problema foi proposto por Cramer (voce lembra de sua famosa regra?) e resolvido em 1776 por Castillon, um geometra e engenheiro italiano. Eles foram contemporaneos mas quando Castillon conseguiu a solucao, Cramer ja havia morrido 25 anos antes. Na verdade, Castillon chamava-se Salvemini, nascido na cidade de Castiglione no centro-norte da Italia, e dai vem o nome pelo qual ficou conhecido ate surgir nesta lista como Cassilão. Bem, vamos ao problema. Imaginemos o problema resolvido. Desenhe a seguinte figura: Uma circunferencia e um triangulo DEF inscrito. Assinale o ponto A sobre o prolongamento do lado FE, o ponto B sobre o prolongamento de DE e o ponto C sobre o prolongamento de DF. Suponha agora que a circunferencia e os pontos A, B e C sao dados. Nosso problema eh descobrir um vertice do triangulo DEF. Trace FG paralelo a BC (G sobre a circunferencia). Trace a reta GE que encontra BC em H. O angulo EHB eh igual a EGF que eh igual a EDF. Logo, os triangulos BHE e BDC sao semelhantes e entao BH/BD = BE/BC, ou BH = (BD.BE)/BC. Trace BT tangente em T a circunferencia. Pela propriedade da potencia, BD.BE = (BT)^2. Assim, BH = ((BT^2))/BC. Como BT e BC sao conhecidos, BH pode ser obtido por uma construcao elementar. Uma vez determinado H sobre BC nosso problema passa a ser determinar o ponto E na circunferencia de forma que as retas EA e EH determinem na circunferencia os pontos F e G, res- pectivamente, tais que FG seja paralela a BC. Trace FL paralela a AH (L sobre a circunferencia) e a reta LG que encontra AH em M. Faca uma figura nova a partir deste ponto. Os triangulos MGH e EAT sao semelhantes e portanto HM/HE = HG/HA ou HM = (HE.HG)/HA. Tracando a tangente HS a circunferencia temos que HM = ((HS)^2))/AH e o ponto M pode ser obtido por outra construcao elementar. Como os angulos LFG e AHB sao iguais, nosso problema passa a ser: tracar por M uma secante MGL de forma que um angulo inscrito LFG seja igual ao angulo conhecido formado pelas retas AH e BC. Mais uma construcao elementar e o problema esta resolvido. PS. A palavra "elementar" que foi usada varias vezes, se refere a cada uma das construcoes que permitiram obter os pontos intermediarios H, M e L. O problema em si eh muito dificil. Abracos, E. Wagner. ---------- From: JoaoCarlos_Junior@net.ms.gov.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Um tal de Cassilão Date: Fri, Jan 3, 2003, 9:34 AM
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