RE: [obm-l] Como guardar um octaedro dento de um cubo (era IME-95)

[João Gilberto Ponciano Pereira <jopereira@xxxxxxxxxxxxx>]

"Uma pergunta relacionada, interessante e a meu ver mais clara seria
qual o menor cubo que contem todas as seis esferas.
Ou, para simplificar (mas sem alterar a essência da questão)
podemos perguntar qual o menor caixa cúbica dentro da qual podemos
guardar um octaedro regular de aresta dada. Acho que é mais difícil
do que parece."

1- Intuitivamente, estou admitindo que o centro do cubo envolvente é a
origem do plano cartesiano do problema. (Esferas de raio R e centros
(R*sqrt(2),0,0) ....). Não sei exatamente como provar, mas se isto não for
verdade, se uma das faces tangencia uma esfera, o lado oposto do cubo não
tangencia a esfera oposta do sistema (a única das outras 5 esferas que não
tangencia a primeira).

2- Estou com a impressão que as soluções para o problema original não são
discretas, mas sim que existe um intervalo contínuo entre o menor e o maior
cubo envolvente. Se imaginarmos r a aresta mínima, conseguiríamos "girar" o
cubo de aresta r+d de forma que todas as circunferências tocassem as faces
do cubo.

3- Se 2 for verdade, o menor raio seria aquele que impediria a rotação nos 3
eixos. Para que isto ocorra, é necessário que as 3 faces de um dos vértices
do cubo tangenciassem a mesma circunferência. Acho que a aresta para esta
configuração já foi calculada em algum dos e-mails.

-----Original Message-----
From: Nicolau C. Saldanha [mailto:nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br]
Sent: Monday, December 30, 2002 12:26 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Como guardar um octaedro dento de um cubo (era IME-95)


On Fri, Dec 27, 2002 at 06:12:27PM -0300, João Gilberto Ponciano Pereira
wrote:

>               6 esferas identicas de raio R encontram-se posicionadas
> no espaço de tal forma que cada uma delas seja tangente a exatamente 4
> esferas.Desta forma,determine a aresta do cubo que tangencie todas as
> esferas.

Esta questão é bem interessante mas também um pouco mal formulada.
Acho que já ficou claro que os centros das esferas são os vértices
de um octaedro regular de aresta 2R. Já vimos que existe mais de um cubo
que tangencia todas as esferas.

Uma pergunta relacionada, interessante e a meu ver mais clara seria
qual o menor cubo que contem todas as seis esferas.
Ou, para simplificar (mas sem alterar a essência da questão)
podemos perguntar qual o menor caixa cúbica dentro da qual podemos
guardar um octaedro regular de aresta dada. Acho que é mais difícil
do que parece.

[]s, N.
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