[obm-l] Re: [obm-l] G. Analítica - Área de Polígonos

[Igor GomeZZ <igor.gomezz@xxxxxxx>]

Em 18/12/2002, 18:15, Marcio (mcohen@iis.com.br) disse:

>     Bom, ja falei isso numa mensagem anterior, mas vou assumir que as
> pessoas nao leram pq o titulo da msg acabou ficando estranho...

Eu realmente não vi, desculpe...

>     Eh obvio que esses "macetes" podem ser demonstrados.. Acho que ainda
> teremos que estudar  muita matematica ateh q a gente comece a precisar
> utilizar resultados fortes ainda em aberto. A demonstracao por inducao eh
> bem natural. Vou colocar aqui.

Cheguei a tentar com pif, mas tive que "acochambrar" para chegar no
resultado

>     (i) Caso n =3 (eh o + dificil):
>     Se os vertices sao (xi,yi), i=1,2,3 (tomados no sentido anti-horario),
> entao a área é:
> 2S = absenx = |(x2-x1, y2-y1) X (x3-x1, y3-y1)| = ... (Se vc nao sabe que o
> modulo do produto vetorial eh absenx, vc pode recriar isso, elevando os dois
> lados da 1a eq. ao quadrado e usando a lei dos cossenos para ficar com uma
> expressao que soh dependa dos lados.. eh grande mais eh rapido. Pensando
> mais um pouco, ve-se que se os vertices estao no sentido anti horario o
> determinante sempre da positivo).

>     (ii) Suponha que qualquer poligono convexo com n ou menos vertices, tem
> area dada por (x_1*y_2 + x_2*y_3 + ... + x_n-1 *y_n + x_n*y_1 - y_1*x_2 -
> ... - y_n*x_1)/2 (onde os vertices (xi,yi) foram tomados no sentido
> anti-horario).
>     Dado um poligono convexo de n+1 vertices A0, A1, ... An, vc pode
> calcular sua area somando as areas do poligono A1-...-An com a do triangulo
> A0A1An (note que aqui eu estou usando a convexidade). Usando a hip. de
> inducao, o dobro da area desse poligono eh:
> (x1*y2 + x2*y3 + ... + x_n-1 *yn + 'xn*y1' - y1*x2 - ... - 'yn*x1')+
> (x0*y1+'x1*yn' + xn*y0 - y0*x1 - 'y1*xn' - yn*x0) =
> (x0*y1 + x1*y2 + ...+ xn*y0  -  y0*x1 - y1*x2 - ... - yn*x0), ou seja o
> resultado tmb vale para n+1 vertices..

>     O passo mais dificil dessa demonstracao eh vc inicialmente modificar um
> pouco o resultado que as pessoas costumam conhecer. Ao inves de supor que a
> area eh dada pelo modulo do determinante (no caso geral), vc supoe que ela
> eh o proprio det, desde que os vertices sejam tomados no sentido
> anti-horario.
>     Um resultado analogo a esse pode ser estabelecido na notacao dos numeros
> complexos. Existe um problema interessante, resolvido na Eureka

Blz, vou verificar

> PS: Na minha (modesta) opiniao, eh muito mais saudavel vc usar esse metodo
> numa prova do que usa-lo no rascunho e simplesmente escrever a resposta
> dizendo que dividiu o poligono em triangulos.

Também começo a pensar assim, fica uma resolução mais limpa e imediata, e
digo que eh um método prático como o niski disse da regra de Sarrus

Valeu Marcio!

Fui


#######     Igor GomeZZ     ########
 UIN: 29249895
 Vitória, Espírito Santo, Brasil
 Criação: 19/12/2002 (14:23)
####################################
Pare para pensar:

Só haverá liberdade quando o
último rei for enforcado com as
tripas do último padre.
(Voltaire)

####################################


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================