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[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] G. Analítica - Área de Polígonos
Pessoal
Sem querer ser chato, mas acho que jeito muito mais simples de demostrar
isso.
1- Vamos imaginar um polígono de N vértices, ordenados no sentido horário.
Considere o vértice N+1 = vértice 1
2- Agora, vamos chamar de Tn o trapézio formado pelos vértices (Xn,
Yn)(Xn+1,Yn+1)(Xn+1,0)(Xn,0). A área pode ser calculada por (Xn+1 - Xn) *
(Yn+1 + Yn) / 2. (Vale área negativa)
3- Graficamente, dá para ver que SOMA(área(Tn)) n de 1 a N é a área do
polígono em questão.
Desenvolvendo a soma, temos Área = (Soma(Xn * Yn+1) - Soma(Xn+1 * Yn)) / 2.
Detalhe: Vale para qualquer polígono, desde que suas arestas não se cruzem.
-----Original Message-----
From: Marcio [mailto:mcohen@iis.com.br]
Sent: Wednesday, December 18, 2002 6:15 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] G. Analítica - Área de
Polígonos
Bom, ja falei isso numa mensagem anterior, mas vou assumir que as
pessoas nao leram pq o titulo da msg acabou ficando estranho...
Eh obvio que esses "macetes" podem ser demonstrados.. Acho que ainda
teremos que estudar muita matematica ateh q a gente comece a precisar
utilizar resultados fortes ainda em aberto. A demonstracao por inducao eh
bem natural. Vou colocar aqui.
(i) Caso n =3 (eh o + dificil):
Se os vertices sao (xi,yi), i=1,2,3 (tomados no sentido anti-horario),
entao a área é:
2S = absenx = |(x2-x1, y2-y1) X (x3-x1, y3-y1)| = ... (Se vc nao sabe que o
modulo do produto vetorial eh absenx, vc pode recriar isso, elevando os dois
lados da 1a eq. ao quadrado e usando a lei dos cossenos para ficar com uma
expressao que soh dependa dos lados.. eh grande mais eh rapido. Pensando
mais um pouco, ve-se que se os vertices estao no sentido anti horario o
determinante sempre da positivo).
(ii) Suponha que qualquer poligono convexo com n ou menos vertices, tem
area dada por (x_1*y_2 + x_2*y_3 + ... + x_n-1 *y_n + x_n*y_1 - y_1*x_2 -
... - y_n*x_1)/2 (onde os vertices (xi,yi) foram tomados no sentido
anti-horario).
Dado um poligono convexo de n+1 vertices A0, A1, ... An, vc pode
calcular sua area somando as areas do poligono A1-...-An com a do triangulo
A0A1An (note que aqui eu estou usando a convexidade). Usando a hip. de
inducao, o dobro da area desse poligono eh:
(x1*y2 + x2*y3 + ... + x_n-1 *yn + 'xn*y1' - y1*x2 - ... - 'yn*x1')+
(x0*y1+'x1*yn' + xn*y0 - y0*x1 - 'y1*xn' - yn*x0) =
(x0*y1 + x1*y2 + ...+ xn*y0 - y0*x1 - y1*x2 - ... - yn*x0), ou seja o
resultado tmb vale para n+1 vertices..
O passo mais dificil dessa demonstracao eh vc inicialmente modificar um
pouco o resultado que as pessoas costumam conhecer. Ao inves de supor que a
area eh dada pelo modulo do determinante (no caso geral), vc supoe que ela
eh o proprio det, desde que os vertices sejam tomados no sentido
anti-horario.
Um resultado analogo a esse pode ser estabelecido na notacao dos numeros
complexos. Existe um problema interessante, resolvido na Eureka
Marcio
PS: Na minha (modesta) opiniao, eh muito mais saudavel vc usar esse metodo
numa prova do que usa-lo no rascunho e simplesmente escrever a resposta
dizendo que dividiu o poligono em triangulos.
----- Original Message -----
From: "Bruno Lima" <bbslima@yahoo.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, December 18, 2002 5:13 PM
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] G. Analítica - Área de Polígonos
> Eu tambem conheco o tal macete, mas nunca consegui
> justifica-lo. Me parce que ele só serve para poligonos
> convexos.
>
>
> --- Igor GomeZZ <igor.gomezz@gmx.net> escreveu: >
> > Em 18/12/2002, 09:09, Wagner (timpa@uol.com.br)
> > disse:
> >
> > > Ola para todos !
> >
> > > De jeito nenhum! Nunca se deve colocar em uma
> > dissertativa um
> > > determinante de uma matriz não quadrada.
> > > Você pode usar esse método no rascunho e dizer que
> > dividiu o polígono em
> > > triângulos e somou a área deles.
> > > Outra coisa, explique melhor o macete pois ele não
> > é tão conhecido.
> >
> > Blz Wagner, acabei de mandar a explicação...
> >
> > Vc faz parte de alguma banca de correção? (eh o
> > Wagner dos livros da SBM?)
> >
> > Eu queria saber se existe alguma prova no curso
> > superior, algo dentro de
> > Algelin por exemplo...
> >
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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