[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômios irredutíveis

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Gratíssimo por sua ajuda!

Alguma razão especial lhe fez pensar em x^4 + 1 ?

Abraço,
Eduardo.


From: "Cláudio (Prática)" <claudio@praticacorretora.com.br>
> Caro Eduardo:
>
> Acho que o resultado a seguir pode ajudar:
>
> P(x) = x^4 + 1 é irredutível sobre Z mas é redutível sobre Z/(p) para todo
> primo p.
>
> Demonstração:
> As raízes de P(x) são exp( i * (2*k+1) * Pi/4 )  k = 0, 1, 2, 3 e a única
> fatoração de P(x) em polinômios com coeficientes reais é (x^2 + raiz(2)x +
> 1)(x^2 - raiz(2)x + 1), a qual envolve coeficientes irracionais. Assim,
P(x)
> é irredutível sobre Z.
>
> Por outro lado, se p é primo, então p = 2, p = 1 (mod 4) ou p = 3 (mod 4).
>
> p = 2  ==>  x^4 + 1 = (x - 1)^4 (mod 2)
>
> p = 1 (mod 4) ==> -1 é quadrado mod p:
> Tome a tal que a^2 = -1 (mod p) ==> x^4 + 1 = (x^2 + a)(x^2 - a)
>
> p = 3 (mod 4) ==> p = 3 (mod 8)  ou  p = 7 (mod 8):
> Neste caso, procuremos uma fatoração de x^4 + 1 da forma (x^2 + ax +
> b)(x^2 - ax + b):
>
> Multiplicando:  x^4 + 1  =  x^4  +  (2b - a^2)x^2  +  b^2 (mod p)
>
> Igualando os coeficientes:  b^2 = 1 (mod p)   e   a^2 = 2b (mod p)
>
> b^2 = 1 (mod p) ==> b = 1 (mod p) ou b = -1 (mod p)
>
> Se b = 1 (mod p), então:  a^2 = 2b (mod p) ==> a^2 = 2 (mod p) ==> 2 é
> quadrado mod p
>
> Se b = -1 (mod p), então:  a^2 = 2b (mod p) ==> a^2 = -2 (mod p) ==> -2 é
> quadrado mod p
>
> p = 3 (mod 4) e 2 é quadrado mod p  <==>  p = 7 (mod 8)
>
> p = 3 (mod 4) e -2 é quadrado mod p  <==>  p = 3 (mod 8)
>
> p = 7 (mod 8):
> Tome a tal que a^2 = 2 (mod p) e b = 1   ==>   x^4 + 1 = (x^2 + ax +
> 1)(x^2 - ax + 1)
>
> p = 3 (mod 8):
> Tome a tal que a^2 = -2 (mod p) e b = -1   ==>   x^4 + 1 = (x^2 + ax -
> 1)(x^2 - ax - 1)
>
> **** Fim da demonstração ****
>
>
> No entanto, você fala em fatoração em Z/(n) para todo n natural, e não
> apenas n primo.
>
> Por exemplo, x^4 + 1 é irredutível sobre Z/(4).
>
>
> Vou continuar pensando no assunto...
>
> Um abraço,
> Claudio Buffara.
>
> ----- Original Message -----
> From: "Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@terra.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Thursday, December 12, 2002 2:35 AM
> Subject: [obm-l] Polinômios irredutíveis
>
>
> Caros colegas da lista,
>
> é possível que um polinômio de coeficientes inteiros P(X) irredutível se
> fatore em Z/(n) para todo n natural ?
>
> Abraço,
> Eduardo.
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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