[obm-l] Re: [obm-l] G. Analítica - Área de Polígonos

[Igor GomeZZ <igor.gomezz@xxxxxxx>]

Em 18/12/2002, 08:34, Daniel (danielcosta@directnet.com.br) disse:

>             Gostaria de saber qual é esse macete que o igor se refere:
> Calcular a área de um polígno em analítica usando determinantes.


Ok, vamo lah:

Bom, desenhe no plano cartesiano o polígono fechado formado pelos pontos
(0,0),(5,0),(3,4),(0,6),(-4,10),(-2,3) 
Nessa ordem, ligue os pontos consecutivos e terá o polígono que vou
tomar no exemplo.

(DESENHO)

Eh sabido que para calcular a área desse polígono, deve-se decompô-lo em
triângulos e calcular a soma dos determinantes das matrizes formadas pelos
vértices, e em seguida dividir por dois e pegar o valor absoluto. Ateh aqui
tudo bem...

Aqui que vem o "macete":

Para um polígono de muitos lados, ficaria um trabalho imenso, então faz-se
o seguinte:

Coloca-se numa matriz os pontos (na ordem que aparecem no polígono, isso eh
importante)

| -4  10 |
|  0  6  |
|  3  4  |
|  5  0  |
|  0  0  |
| -2  3  |

Em seguida repete-se a primeira linha após a última:

| -4  10 |
|  0  6  |
|  3  4  |
|  5  0  |
|  0  0  |
| -2  3  |
| -4  10 |

A área do polígono eh igual ao módulo do "determinante" dessa matriz
dividido por dois:

[(-4*6)+(0*4)+(3*0)+(5*0)+(0*3)+(-2*10)] -
[(10*0)+(6*3)+(4*5)+(0*0)+(0*-2)+(3*-4)]

= -70

{creio que pegou o modo como se calcula o "determinante", caso
cantrário,  pergunta aê}

Área = abs(-70)/2
Área = 70/2
Área = 35 u.a

Isso pode ser comprovado calculando o determinante dos triângulos
decompostos no polígono


>A:=Matrix([[-2,3,1],[3,4,1],[0,0,1]]);
                              [-2    3    1]
                              [            ]
                         A := [ 3    4    1]
                              [            ]
                              [ 0    0    1]

> B:=Matrix([[3,4,1],[5,0,1],[0,0,1]]);

                               [3    4    1]
                               [           ]
                          B := [5    0    1]
                               [           ]
                               [0    0    1]


> C:=Matrix([[-2,3,1],[0,6,1],[3,4,1]]);

                              [-2    3    1]
                              [            ]
                         C := [ 0    6    1]
                              [            ]
                              [ 3    4    1]

> E:=Matrix([[-4,10,1],[0,6,1],[-2,3,1]]);

                              [-4    10    1]
                              [             ]
                         E := [ 0     6    1]
                              [             ]
                              [-2     3    1]


abs(((Determinant(A))/2) + ((Determinant(B))/2) + ((Determinant(C))/2) + ((Determinant(E)/2)))
= 35

Entendido? Qq dúvida...

Fui!


#######     Igor GomeZZ     ########
 UIN: 29249895
 Vitória, Espírito Santo, Brasil
 Criação: 18/12/2002 (15:15)
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O contrário de exercitar a
imaginação é imaginar o exército.
(Mário Seabra)

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