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Sobre o 6174:
Chamando de a, b, c, d os algarismos de X(1), e
supondo (sem perda de generalidade) que:
0 <= a <= b <=c <= d <= 9
a < d (para evitar números com 4
algarismos iguais)
Teremos:
H(1) = 1000*d + 100*c + 10*b +
a
L(1) = 1000*a + 100*b + 10*c + d
Assim, X(2) =
H(1) - L(1) = 999*(d-a) + 90*(c-b).
Agora, como 0 <= a < d <= 9, (d - a)
pode assumir 9 valores distintos ( 1, 2, 3, ... , 9 ).
Como a <= b <= c <= d, teremos que 0 <=
(c - b) <= (d - a). Assim, fixando o valor de (d - a) (= m, por exemplo), (c
- b) poderá assumir (m+1) valores distintos ( 0, 1, ..., m ).
Resumindo:
d - a = 1 ==> c - b = 0 ou
1 (2 valores)
d - a = 2 ==> c - b = 0, 1, ou
2 (3
valores)
................
d - a = 9 ==> c - b = 0, 1,...,ou
9 (10 valores)
Assim, o número de pares ordenados (d - a,c - b) é
igual a 2 + 3 + ... + 10 = 54.
Ou seja, X(2) pode assumir no máximo 54
valores distintos. (De fato, serão exatamente 54 valores distintos pois, dados
os valores possíveis de (d - a) e (c - b), a aplicação (d - a,c - b) -->
999*(d - a) + 90*(c - b) é bijetiva)
Para a segunda rodada não consegui ver nenhuma
forma analítica de reduzir o número de possibilidades, mas 54 números podem
ser tratados por inspeção, especialmente com um computador. Por outro lado,
num exame...
----- Original Message -----
Sent: Tuesday, December 17, 2002 8:15
PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] O mistério
do 6174 e a irracionalidade de e^2
Caro Prof. Morgado:
Obrigado pela dica. Vou tentar mais um pouco
antes de olhar a solução.
Um abraço,
Claudio Buffara.
----- Original Message -----
Sent: Tuesday, December 17, 2002 7:26
PM
Subject: Re: [obm-l] O mistério do 6174
e a irracionalidade de e^2
1) O problema 1 se encontra em Ingenuity in
Mathematics, de Ross Honsberger. Decepcionantemente, a prova eh bastante
braçal. Na realidade, o resultado vale desde que os 4 digitos nao sejam
todos iguais (vale para 3343, por exemplo). A linha da prova eh que apos a
primeira subtraçao so ha 98(?) resultados possiveis, apos a segunda
subtraçao um numero menor ainda,..., apos a setima o resultado so pode ser
6174.
A passagem mais inteligente da demonstraçao eh a
primeira.
Cláudio (Prática) wrote:
001701c2a5d4$bcb00fe0$3300c57d@bovespa.com">href=file://C:\WINDOWS\>
Dois Problemas:
1. Seja A um inteiro positivo < 10.000, formado por quatro
algarismos distintos (possivelmente com o algarismo dos milhares igual a
zero - por exemplo: 123 = 0123).
Considere a seguinte sequência:
X(1) = A
Para cada inteiro positivo n: X(n+1) = H(n) - L(n)
onde:
H(n) = número formado pelos algarismos de X(n) em ordem
decrescente;
L(n) = número formado pelos algarismos de X(n) em ordem
crescente;
Prove que, qualquer que seja A (formado por algarismos
distintos), existe um índice m, tal que se k >=m então X(k) =
6174.
2. Existe uma demonstração simples da irracionalidade de e (base dos
logaritmos naturais), baseada na identidade:
infinito
e = SOMATÓRIO ( 1 / n! )
n
= 0
A demostração é por contradição, onde a hipótese da racionalidade de
e leva à conclusão de que existe um número inteiro entre 0 e 1.
Problema: Como usar a mesma idéia para se demonstrar a
irracionalidade de e^2.
Agradeço antecipadamente qualquer ajuda.
Um abraço,
Claudio Buffara.
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