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Dois Problemas:
1. Seja A um inteiro positivo < 10.000, formado por quatro
algarismos distintos (possivelmente com o algarismo dos milhares igual a
zero - por exemplo: 123 = 0123).
Considere a seguinte sequência:
X(1) = A
Para cada inteiro positivo n: X(n+1) = H(n) - L(n)
onde:
H(n) = número formado pelos algarismos de X(n) em ordem
decrescente;
L(n) = número formado pelos algarismos de X(n) em ordem
crescente;
Prove que, qualquer que seja A (formado por algarismos distintos),
existe um índice m, tal que se k >=m então X(k) = 6174.
2. Existe uma demonstração simples da irracionalidade de e (base dos
logaritmos naturais), baseada na identidade:
infinito
e = SOMATÓRIO ( 1 / n! )
n =
0
A demostração é por contradição, onde a hipótese da racionalidade de e
leva à conclusão de que existe um número inteiro entre 0 e 1.
Problema: Como usar a mesma idéia para se demonstrar a irracionalidade
de e^2.
Agradeço antecipadamente qualquer ajuda.
Um abraço,
Claudio Buffara.