[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RAIZ C�BICA DE 7

["Rodrigo Villard Milet" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

Na verdade isso � muito mais geral. Se raiz n-�sima de a^m (a natural) n�o �
inteiro, ent�o deve ser irracional. � f�cil provar isso, se vc sabe um
crit�rio para achar ra�zes racionais de equa��es com coeficientes inteiros.
LEMA: Dada a equa��o A(n)x^n + A(n-1)x^(n-1) +... +A(1)x+A(0)=0 e p/q (na
forma irredut�vel) � raiz, ent�o p divide A(0) e q divide A(n).
Prova: Substitua p/q na equa��o. Ent�o A(n)p^n = -q*[A(n-1)p^(n-1)
+...+A(0)q^(n-1)] e como p e q n�o tem fatores em comum, segue que todos os
fatores de q se encontram em A(n), logo q | A(n). Analogamente p | A(0).

Ent�o considere a equa��o x^n - a^m=0. Temos que  raiz n-�sima de a^m �
raiz. Ent�o, pelo lema, se � racional (p/q), ter�amos p | a^m e q | 1, logo
p/q � inteiro, o que � uma contradi��o, j� que estamos supondo que n�o �
inteiro.
Logo raiz n-�sima de a^m (a natural ), se n�o � inteiro, � irracional.

Abra�os,
 Villard




-----Mensagem original-----
De: Cl�udio (Pr�tica) <claudio@praticacorretora.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Ter�a-feira, 17 de Dezembro de 2002 18:04
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RAIZ C�BICA DE 7


>A demonstra��o segue a mesma l�gica:
>
>7^(1/3) = m/n  com mdc(m,n) = 1
>7 = (m^3) / (n^3)
>m^3 = 7 * (n^3)
>m^3 � m�ltiplo de 7
>m � m�ltiplo de 7
>m^3 � m�ltiplo de 7^3 = 343
>m^3 = 343 * k
>
>Mas, neste caso, 343 * k = 7 * (n^3) (ambos s�o iguais a m^3), ou seja:
>7 * (7*k) = n^3
>n^3 � m�ltiplo de 7
>n � m�ltiplo de 7 ==> contradi��o, pois 7 divide m e mdc(m,n) = 1
>
>Na verdade, o mesmo tipo de demonstra��o se aplica com qualquer n�mero
primo
>(n�o apenas o 7) e qualquer expoente (n�o apenas o 3).
>
>O ponto crucial � a infer�ncia m^3 � m�ltiplo de 7 ==> m � m�ltiplo de 7,
>que s� � verdadeira porque 7 � primo.
>
>Um abra�o,
>Claudio Buffara.
>
>----- Original Message -----
>From: "JO�O CARLOS PAREDE" <joaocarlosparede@yahoo.com.br>
>To: "OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Tuesday, December 17, 2002 4:27 PM
>Subject: [obm-l] RAIZ C�BICA DE 7
>
>
>Em livros sobre conjuntos num�ricos, eles quase sempre
>apresentam uma prova por absurdo da irracionalidade da
>raiz quadrada de 2:
>
>sqrt(2)=p/q, sendo mdc(p,q)=1
>2=(p*p)/(q*q)
>2*q*q=p*p
>Com isto p � par.
>Analogamente se prova que q � par, caindo no absurdo.
>
>Mas, por exemplo, com raiz c�bica de 7, como fa�o?
>
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>
> JO�O CARLOS PAREDE
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