[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RAIZ CÚBICA DE 7

["Rodrigo Villard Milet" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

Na verdade isso é muito mais geral. Se raiz n-ésima de a^m (a natural) não é
inteiro, então deve ser irracional. É fácil provar isso, se vc sabe um
critério para achar raízes racionais de equações com coeficientes inteiros.
LEMA: Dada a equação A(n)x^n + A(n-1)x^(n-1) +... +A(1)x+A(0)=0 e p/q (na
forma irredutível) é raiz, então p divide A(0) e q divide A(n).
Prova: Substitua p/q na equação. Então A(n)p^n = -q*[A(n-1)p^(n-1)
+...+A(0)q^(n-1)] e como p e q não tem fatores em comum, segue que todos os
fatores de q se encontram em A(n), logo q | A(n). Analogamente p | A(0).

Então considere a equação x^n - a^m=0. Temos que  raiz n-ésima de a^m é
raiz. Então, pelo lema, se é racional (p/q), teríamos p | a^m e q | 1, logo
p/q é inteiro, o que é uma contradição, já que estamos supondo que não é
inteiro.
Logo raiz n-ésima de a^m (a natural ), se não é inteiro, é irracional.

Abraços,
 Villard




-----Mensagem original-----
De: Cláudio (Prática) <claudio@praticacorretora.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Terça-feira, 17 de Dezembro de 2002 18:04
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RAIZ CÚBICA DE 7


>A demonstração segue a mesma lógica:
>
>7^(1/3) = m/n  com mdc(m,n) = 1
>7 = (m^3) / (n^3)
>m^3 = 7 * (n^3)
>m^3 é múltiplo de 7
>m é múltiplo de 7
>m^3 é múltiplo de 7^3 = 343
>m^3 = 343 * k
>
>Mas, neste caso, 343 * k = 7 * (n^3) (ambos são iguais a m^3), ou seja:
>7 * (7*k) = n^3
>n^3 é múltiplo de 7
>n é múltiplo de 7 ==> contradição, pois 7 divide m e mdc(m,n) = 1
>
>Na verdade, o mesmo tipo de demonstração se aplica com qualquer número
primo
>(não apenas o 7) e qualquer expoente (não apenas o 3).
>
>O ponto crucial é a inferência m^3 é múltiplo de 7 ==> m é múltiplo de 7,
>que só é verdadeira porque 7 é primo.
>
>Um abraço,
>Claudio Buffara.
>
>----- Original Message -----
>From: "JOÃO CARLOS PAREDE" <joaocarlosparede@yahoo.com.br>
>To: "OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Tuesday, December 17, 2002 4:27 PM
>Subject: [obm-l] RAIZ CÚBICA DE 7
>
>
>Em livros sobre conjuntos numéricos, eles quase sempre
>apresentam uma prova por absurdo da irracionalidade da
>raiz quadrada de 2:
>
>sqrt(2)=p/q, sendo mdc(p,q)=1
>2=(p*p)/(q*q)
>2*q*q=p*p
>Com isto p é par.
>Analogamente se prova que q é par, caindo no absurdo.
>
>Mas, por exemplo, com raiz cúbica de 7, como faço?
>
>=====
>
> JOÃO CARLOS PAREDE
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