RES: [obm-l] prob

[Ralph Teixeira <RALPH@xxxxxx>]

Hmmm... Para ser exato, não sei se esta resposta está correta -- depende do que se quer dizer com "ao acaso". Para ilustrar meu raciocínio, suponha que há apenas 2 gavetas A e B com capacidade máxima de 3 pastas cada, digamos, A1 A2 A3 B1 B2 B3. Uma secretária põe 4 pastas "ao acaso" nestas gavetas... Qual é a chance de haver 2 pastas em cada gaveta?

Uma maneira de pensar é: pode ser 1+3, 2+2 ou 3+1, então a probabilidade é 1/3. Parece razoável? Bom, mas quem disse que estas 3 coisas são igualmente prováveis? Se você acredita que escolher "ao acaso" é escolher aleatoriamente uma destas possibilidades de pares ordenados que somam 4, esta é a resposta.

Outra maneira é: pode ser {1,3} ou {2,2}, então a probabilidade é 1/2. Aqui, a secretária escolheu "ao acaso" uma das possibilidades de CONJUNTOS de dois números menores ou iguais a 3 que somam 4. Não gostou? Bom, vejamos outras interpretações mais convincentes.

Esta é bem convincente: escolhemos 4 lugares de A1 a B3 para colocar as pastas, que é equivalente a escolher "ao acaso" 2 lugares para ficarem vazios. Há 6x5/2=15 maneiras de fazer isto. Destas, apenas 3x3 dão um local vazio de cada gaveta. Então a probabilidade é 9/15=3/5. Se foi assim que a secretária escolheu onde colocar as pastas, isto está correto! Particularmente, também não é esta a minha interpretação favorita...

Na minha opinião, a melhor interpretação é: a secretária arquiva as pastas uma a uma; a cada pasta a ser arquivada, a secretária escolhe aleatoriamente uma gaveta (ainda não cheia) para colocar a pasta. Podemos chamar a primeira gaveta a ser escolhida de "A". Há assim 1/4 de chance dela escolher a seguir AA (e então forçosamente B), e 1/8 de chance de escolher cada uma das outras escolhas "não-forçadas" ABB, ABA, BAA, BAB, BBA, BBB. Apenas 4 destas possibilidades dão a divisão equânime de pastas... Então, a probabilidade de ter 2 pastas em cada é 4/8=1/2 (!).

Esta última é equivalente a pensar que a secretária escolhe uma gaveta para NÃO pôr uma pasta, depois outra gaveta (possivelmente a mesma!) para NÃO PÔR outra pasta. Em suma, pense nela enchendo todas as gavetas com 6 pastas e então RETIRANDO 2 pastas das gavetas (no sentido de que ela escolhe a GAVETA de maneira aleatória e então retira uma pasta daquela gaveta): ela pode retirar de AA, AB, BA ou BB. Probailidade de tirar igualmente de A e B é 2/4=1/2, que é a resposta.

Como eu gosto mais desta maneira de interpretar a expressão "ao acaso", faço isso com as 4 gavetas de 5 pastas e as 18 pastas do problema original. Penso que a secretária escolhe AO ACASO uma gaveta (dentre as não cheias) para colocar cada pasta, uma a uma. Bom, isto é equivalente a usar o mesmo processo para RETIRAR 2 pastas a partir de gavetas cheias. Se as gavetas são ABCD, ela escolhe AA, AB, AC, ... ou DD para RETIRAR (ou NÃO COLOCAR) 2 pastas. Destas 16 possibilidades, há 3+3=6 com a gaveta A mencionada apenas uma vez: AB, AC, AD, BA, CA, DA. Assim, a probabilidade de a gaveta A ter exatamente 4 pastas é 6/16=3/8.

Note como esta minha resposta é diferente daquela presente na mensagem abaixo (que, repito, não está *ERRADA*, mas é uma interpretação de "ao acaso" com a qual não concordo não). Em suma, porque os 10 casos apresentados lá seriam igualmente prováveis?

Eu *APOSTO* que este problema vai gerar polêmica... ;)

Abraços,
	Ralph

-----Mensagem original-----
De: Andr Linhares [mailto:andre_linhares@msn.com]
Enviada em: segunda-feira, 18 de novembro de 2002 17:37
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] prob


   Observe que pelo menos 2 das gavetas estão com a capacidade máxima (5 
pastas). Caso cotrario, o total de pastas seria no máximo 5+4+4+4=17. Bem, 
agora que já sabemos disso temos de distribuir 8 pastas nas gavetas 
restantes. As possibilidades seriam: 0 e 8, 1 e 7, 2 e 6, 3 e 5; 4 e 4. As 
únicas que não ultrapassam o limite das gavetas são: 3 e 5, 4 e 4.

a b c d | a b c d | a b c d | a b c d
5 5 5 3 | 5 5 3 5 | 5 3 5 5 | 3 5 5 5

a b c d | a b c d | a b c d | a b c d | a b c d | a b c d
5 5 4 4 | 5 4 5 4 | 4 5 5 4 | 5 4 4 5 | 4 5 4 5 | 4 4 5 5

   Em 6/10, ou seja, 3/5 dos casos, existem 2 gavetas com exatamente 4 
pastas. A possibilidade de a gaveta a estar entre essas duas é de 2/4=1/2. 
Ou seja, a possibiliade de a gaveta a ter exatamente 4 pastas é de 1/2.3/5 = 
3/10 = 30%

>From: "Marcelo Roseira" <mroseira@uol.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: [obm-l] prob
>Date: Mon, 18 Nov 2002 12:01:56 -0200
>
>  Caros amigos:
>Um arquivo de escritório possui 4 gavestas, chamadas a, b, c e d. Em cada 
>gaveta cabem no máximo 5 pastas. Uma secretária guardou, ao acaso, 18 
>pastas nesse arquivo. Qual é a probabilidade de haver exatamente 4 pastas 
>na gaveta a?
>
>Grato.
>
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