Re: [obm-l] z^z - mais perguntas

[Augusto César Morgado <morgado@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Bem, essa história de positivo e negativo, deriva da noção de positivo. Um
negativo é um número cujo simétrico é positivo.
E o que são números positivos? Os positivos formam uma classe tal que: a
soma de positivos é positivo, o produto de positivos é positivo e (tricotomia),
dado um numero qualquer, vale uma e uma só das alternativas: ele é zero,
ele é positivo, ele é negativo. A partir da noção de positivo é que se definem
maior (a maior que b significa a menos b é positivo), menor...
Nos complexos, não existe uma classe de positivos com as propriedades
acima. Com efeito, como i não é zero, ou i é positivo ou
é negativo. Se i é positivo, i*i = -1 é positivo. Absurdo  Se i é negativo,
 -i é positivo e -i * -i = -1 é positivo. Absurdo.
Portanto, não há nos complexos uma ordem com as propriedades acima.
PS: -1 positivo é absurdo porque 1 é positivo. E 1 é positivo  porque não
é zero e se fosse negativo, -1 seria positivo e -1*-1 = 1 seria positivo.

Jose Francisco Guimaraes Costa wrote:

015601c29102$fddd5c20$4910dcc8@jf">

> Jose Francisco Guimaraes Costa wrote:
>
> Sejam z1 e z2 dois números complexos.
> 
> A operação z1^z2 é definida? Se for, qual sua definição?

 

>On Mon, Nov 18, 2002 at 10:30:40AM -0200, Augusto César Morgado wrote:
>   z1^z2 =  exp (z2 * ln z1)
>

 

>From : "Nicolau C. Saldanha" < nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br >

>Date : Mon, 18 Nov 2002 15:08:27 -0200

>
>A definição do Morgado é ótima mas é preciso chamar a atenção para
>o fato de ln z1 não estar tão bem definido assim. A função ln não
>pode ser definida assim
>
>ln : C - {0} -> C
>
>precisamos fazer um corte, como por exemplo
>
>ln : C - {z in R, z <= 0} -> C
>
>e escolhas diferentes do corte produzem valores diferentes para ln z1.
>
>[]s, N.

 

Mais perguntas:

 

(1) Usando a mesma linguagem segundo a qual a expressão

 

A = sqrt(B)

 

é lida como "A é igual à raiz quadrada de B", como ler a expressão

 

ln : C - {z in R, z <= 0} -> C   ?

 

(2) N diz "precisamos fazer um corte, como por exemplo ... ". Por que precisamos fazer um corte (ou por que "A função ln não pode ser definida assim: ln : C - {0} -> C") ?

 

(3) A afirmação "precisamos fazer um corte, como por exemplo ... e escolhas diferentes do corte produzem valores diferentes para ln z" me deixa com a idéia de que eu posso escolher o corte que me convier, o que faz com que a função "ln z" não tenha uma definição única. É isso mesmo?

 

(4) Faz sentido dizer que um número complexo é positivo ou negativo? Se fizer, quando ele é positivo e quando é negativo?

 

(5) Por favor sugiram livros onde eu possa encontrar respostas para este tipo de perguntas. Embora eu tenha estudado números complexos e trabalhado com eles - sou engenheiro eletrônico - não me lembro de ter sido exposto às definições e conceitos acima.

 

JF (Rio de Janeiro, iniciado na ciência da matemática pelo mesmo Prof. Morgado que iniciou o Morgado um ano depois de mim)