[obm-l] Re: [obm-l] ----> Questão IME

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

>   Ficaria muito agradecido se alguém me ajudasse na
> qustão do IME abaixo.
>  --> Considere uma matriz A, nxn, de coeficientes reais,
> e k um número real diferente de 1. Sabendo que A^3=kA,
> prove que a matriz A+I é invertível, onde I é a matriz
> identidade nxn.

(A + I)(A² - A + xI) = A³ - A² + xA + A² - A + xI = A³ + (x-1)A + xI = A(k +
x - 1) + xI
tomando x = 1 - k
temos que (A + I)^-1 = [1/(1-k)]*[A² - A + (1-k)I]

[1/(1-k)]*[A² - A + (1-k)I](A+I) = [1/(1-k)]*[A³ - A² + (1-k)A + A² - A +
(1-k)I] =
[1/(1-k)]*[kA + (1-k)A - A + (1-k)I] = [1/(1-k)].[(1-k)I] = I

a hipótese k != 1 é essencial para que 1/(1-k) faça sentido.


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