Re: [obm-l] Toro x Esfera

[Pedro Antonio Santoro Salomão <ssalomao@xxxxxxxxxx>]

Bruno,
Considere as topologia induzidas de R^3 tanto para o toro T^2 quanto para a
esfera S^2, para darmos uma noção de continuidade para aplicações entre
essas duas superfícies contidas em R^3.
Espero que seja essa que você estava imaginando.
Aplicações constantes tanto do toro na esfera quanto da esfera no toro são
sempre contínuas.
Talvez você esteja pensando em homeomorfismo entre o toro e a esfera, que
são aplicações invertíveis contínuas com inversa também contínua.
Bom, aí não existe homeomorfismo entre essas duas superfícies. Você pode
pensar numa deformação da esfera num toro e intuir que isso é impossível.
Existem provas rigorosas e mais gerais, mas posso te dar uma idéia de como
ver isso. Suponha que exista um homeomorfismo h do toro na esfera. Pegue uma
curvinha c, que é regular, fechada, simples (sem auto-intersecção) e enlaça
o toro (c é não homotopicamente trivial, ou seja, que você não pode contrair
a um ponto dentro do toro). Essa curva não separa o toro em 2 partes, ou
seja, o toro menos essa curva tem apenas uma componente conexa. Certo? Mas,
a imagem da curva c por h separa a esfera em duas partes conexas disjuntas.
Isso vem do Teorema da curva de Jordan. Isso é uma contradição, pois h é um
homeomorfismo e a imagem de um conjunto conexo é conexa.
Um abraço. Pedro.
----- Original Message -----
From: "bruno lima" <bbslima@yahoo.com.br>
To: "OBM lISTA" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, November 19, 2002 12:32 PM
Subject: [obm-l] Toro x Esfera


>    Existe aplicação contínua da esfera (S^2) no
> Toro(S^1 X S^1) ?  E o contrario ??
>  me parece que nao mas nao sei como provar
>
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