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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos Números
É isso aí, colega Fischer!
Quanto às outras questões.
3) Se n é composto, por exemplo n=2x3, separe U6 = 11 11 11 ou então U6 =
111 111. Fica fácil de ver que U6 = 11 x10101 = 111 x1001. Dá pra adaptar
sem problemas para o caso n composto qualquer, só que eu não vou escrever do
modo "bonitinho" por que só iria obscurecer a idéia, que é muito simples.
4) Quantos são os a, 2a, 3a, ..., ba divisíveis por b ? O menor deles que o
b divide é mmc(a,b)/a . a depois vem 2 mmc(a,b)/a . a, ..., até mdc(a,b)
mmc(a,b)/a . a = b.a Acho que é isso.
5) Tá difícil de entender sua notação cheia de cracas... mas se eu entendi o
problema como segue: é possível repartir um conjunto de p (primo) inteiros
consecutivos em dois conjuntos de soma igual, sempre ? Se for isso, a
resposta é não. Tome {2, 3, 4} como contra-exemplo.
6) Vale aquela relação (não é dicífil de mostrar, fica como exercício) se a
== b (mod n) e P é um polinômio de coeficientes inteiros então P(a) == P(b)
(mod n). No caso do problema sabe-se que P(-1), P(0) e P(1) não são
divisíveis por 3. Se n é um inteiro qualquer n == -1, 0 ou 1 (mod 3) logo
P(n) == P(-1), P(0) ou P(1) (mod 3) logo não é divisível por 3 e portanto
P(n) não pode valer 0.
8) Eu sei que é verdade, pois segue de um resultado famoso que se mdc(a,b)=1
então existem infinitos primos em a, a+b, a+2b, ... Agora eu não se se é
fácil demonstrar que para qualquer p primo, existem primos deixando todos os
restos possíveis (exceto zero) na divisão por p. Isto é, existe uma prova
elementar desse fato? Eu acho que não, mas é bom ouvir outros da lista.
Abraço,
ao Eduardo e aos demais!
From: Eduardo Fischer
>
>Que tal essa:
>
>Nenhum número que acaba em 11 como 1111...1111 pode ser quadrado perfeito
pois é >congruente a 3 ( mód ) 4.
>
>7)Cada número correspondendo a um resto, de 1 a 7:
>
> 1 2 3 4 5 6 7
>29, 2, 3, 11, 5, 13, 7
From: Marcelo Souza
Esta primeira parece ser fácil...
1. Um número A formado por trezentos dígitos iguais a um não pode ser um
quadraado perfeito pq naum eh potencia par de 3, já que tera apenas um fator
3 , sendo assim naum eh quadrado perfeito. Espero naum ter errado o
raciocinio....pareceu muito simples.
[]'s, Marcelo
>From: "Roberto Gomes"
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Teoria dos Números
>Date: Fri, 15 Nov 2002 19:22:49 +0000
>
>Problemas do livro de teoria dos números do José Plínio de Oliveira Santos,
que não consegui resolver.
>
>1. Pode o número A=11111....11 formdo por trezentos 1's ser um qadrado?
>
>2. Mostrar que todo inteiro maior do que 11 é soma de dois inteiros
compostos.
>
>3. Seja Un = 111...1 um número formados por n 1's. Provar que Un primo
implica n primo.
>
>4. Provar que se d = mdc(a,b), então d é o número de inteiros na seqüência
a, 2a, 3a, ...., ba que são divisíveis pr b.
>
>5. Seja p primo e M um conjunto de p inteiros consecutivos. É possível
encontrar M1 e M2 subconjuntos de M tais que M1 È M2 = M, M1Ç M2 =Æ , Mi ¹ Æ
de forma que
>
>P i = P j ?
>i ÎM1 j Î M2
>
>6. Seja f(x) um polinômio com coeficientes inteiros. Mostrar que se f(-1),
f(0) e f(1) não são divissíveis por 3, então f(n) ¹ 0 para todo n.
>
>7. Encontrar um sistema completo de resíduos módulo 7 onde todos os
elementos são números primos.
>
>8. Dado um primo p é sempre possível encontrar um sistema completo de
resíduo módulo p formado só por primos? Justivicar.
>
>
>Obrigado pela atenção de todos.
>
>Roberto Gomes, Recife-PE
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta
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