Re: [obm-l] Equação algébrica.

[Marcelo Leitner <mrl@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, Nov 11, 2002 at 06:46:52PM -0200, cfgauss77 wrote:
>  Alguém poderia me ajudar a demonstrar se a afirmativa 
> abaixo é verdadeira ou falsa.
>   "Se P(x) e Q(x) são dois polinômios com coeficientes 
> reais e graus iguais a m e n, respectivamente, e M é o 
> maior entre os números m e n, então a equação P(x)=Q(x) 
> tem, no máximo M raízes inteiras e positivas.
>    Valeu!!!
---end quoted text---

Se P(x) = Q(x), entao P(x) - Q(x) = 0
Se tivermos, por exemplo, P(x) = x e Q(x) = k, onde k eh
uma constante, teremos P(x) - Q(x) = x - k, equacao do
primeiro grau que possue raiz real k. Note que o grau
de Q(x) eh 0, e o de P(x) eh 1.
Se fizermos isso com um polinomio do 3. grau e do 2,
respectivamente, e ainda com coeficientes iguais, teremos
P(x) = x^3 + x^2 + x + 1
Q(x) = x^2 + x + 1
e P(x) - Q(x) = x^3, pois todos os outros termos sao
semelhantes.
Entao podesse provar por inducao que se P(x) tem grau m e Q(x)
tem grau n, sendo m > n, P(x) = Q(x) terah _no maximo_
m raizes inteiras, _mas nao necessariamente positivas_.
Se m for impar, nada impede de termos, por exemplo:
P(x) = x^3 + x^2 + x + 1
Q(x) = x^2 + x
P(x) - Q(x) = x^3 + 1 = 0
logo x = raiz cubica (-1) = -1, as outras 2 raizes sao complexas.
Ou os polinimios tem que ser completos ou coisa do tipo?

Sempre que voce fizer P(x) - Q(x), e m > n, restarah sempre
_no minimo_ o termo de gray m de P(x), pq n < m, por isso pode ter _no
maximo_ m raizes reais, pq nada impede de outras serem complexas,
como no ultimo exemplo.

sao 2:10 da manha, espero ter ajudado alguma coisa :)
[]'s!
-- 
Marcelo R Leitner <mrl@netbank.com.br>
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