[obm-l] Re: [obm-l] onde está o erro?

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, Oct 29, 2002 at 02:31:24AM -0300, cgmat wrote:
>  
> Onde está o erro?
> 
> Seja S a soma dos termos infinitos de uma PG de números estritamente positivos
> com razão 2 e a1=1.
> 
> S = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ...) => a partir do a2, todos os termos são múltiplos de 2.
> 
> Se colocarmos o 2 em evidência, teremos:
> 
> S = 1 + 2 . ( 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... ) => como S = ( 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... ), temos:
> 
> S = 1 + 2.S
> S - 2.S = 1
> grato, cgomes.
> 

O erro está em supor que a soma

S = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ...)

faz sentido. A definição de uma soma infinita envolve limites e o limite
pode existir ou não; no caso não existe. Veja um bom livro de análise para
a definição de limite e outras considerações teóricas.

Em certo sentido, entretanto, não há nada errado: S = -1.
Estudam-se somas de séries divergentes e este é um dos exemplos mais simples.
Há por exemplo um livro do Hardy (o mesmo que escreveu o clássico
de teoria dos números) sobre este assunto. Mas tome cuidado para
não se empolgar demais com somas de séries divergentes e sair tirando
conclusões absurdas.

[]s, N.
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