[obm-l] Numeros complexos e i elevado a i

[Ralph Teixeira <RALPH@xxxxxx>]

	Para o pessoal pensar....

	Eu nunca gostei muito do i^i que muitos professores gostam de
mostrar como exemplo da aplicação de e^(it)=cost+isint... Meu problema com
isso é alguém começar a escrever:

	i=e^(5iPi/2)=e^(iPi/2)

	Elevando a i:

	e^(-5Pi/2)=e^(-Pi/2)   ???????

	Mas -5Pi/2 e -Pi/2 são reais bem diferentes!!

	O fato é que a exponencial complexa z1^z2 não é muito bem definida
não... a menos que se tome muito cuidado (e mesmo assim, regras com
(a^b)^c=a^(bc) começam a falhar).

	Mas pode usar com tranquilidade que e^(it)=(cost+isint), ou
e^(a+bi)=e^a.(cosb+isinb)...Mas cuidado com (e^z1)^z2, como o caso acima
mostra.

	Inspirado pela sua mensagem, aqui vao 2 problemas legais de
geometria, razoavelmente complexos... Ops, já dei a dica.

1) (INSPIRADO PELO IME E PELA ILHA DOS MACACOS) Numa ilha deserta há uma
grande rocha e duas palmeiras. O pirata Guybrush Threepwood enterrou o
famoso tesouro Big Whoop num local indicado pelas seguintes instruções:
    i) Começando da rocha, ande em direção à primeira palmeira, contando
seus passos. Ao chegar lá, vire 90 graus para a esquerda e ande o mesmo
número de passos que você contou. Neste local, ponha uma bandeira.
    ii) Começando novamente da rocha, ande em direção à segunda palmeira,
contando o novo número de passos. Ao chegar lá, vire 90 graus para a direita
e ande o novo número de passos que você contou. Neste local, ponha outra
bandeira.
    iii) Big Whoop está no ponto médio entre as duas bandeiras.
    Ao voltar a ilha 60 anos depois, Aristhoteles Marley-Threepwood (o neto)
descobre que a rocha se foi (!), mas as palmeiras ainda se encontram na
ilha. Ele joga uma pedrinha ao chão em um lugar aleatório e segue as
instruções à risca usando a pedrinha como "grande rocha". Mostre que ele vai
encontrar o tesouro.

2) (OBM, acho que 1984) Sobre os lados de um quadrilátero convexo ABCD,
montam-se (externamente ao quadrilátero) 4 quadrados. Mostre que os dois
segmentos que unem os centros de quadrados opostos são iguais e
perpendiculares entre si.

	Abraço,
		Ralph

-----Mensagem original-----
De: filipe falcão [mailto:baconzitus@hotmail.com]
Enviada em: quarta-feira, 23 de outubro de 2002 01:38
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda: Breves Explicações


Igor,

sobre a identidade de Euller vc pode utiliza-la quando quiser definir um 
número elevado à um complexo, por exemplo i^i. da formula vc tem que e^Ai= 
cosA+isenA, entaum e^90ºi= cos90º+isen90º=i. temos entaum
(e^90°i)^i=e^90°(-1)=1/e^90°. Blz?

Abraços Filipe Falcão
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