Re: [obm-l] OBM-u

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Duda e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Se o enunciado da questao e o que esta abaixo, entao a questao esta mal 
formulada e nao tem solucao.

O enunciado diz : "Dado n inteiro positivo ...". Neste caso, a funcao
K(n) deve estar definida para n=1. Quanto vale K(1) ?

Ln_0(1)=Ln(1)=0
ln_1(1)=Ln(Ln_0(1))=Ln(0) nao existe !

E nao existe para os demais K > 1. Logo, a funcao nao esta definida para 
n=1, pois nao existe K tal que Ln_K(n) >= 1. O que deve ter ocorrido e uma 
confusao entre o logaritmando e o indice da formula de recorrencia.

Bastaria acrescentar N > 2. Assim :

O enunciado deveria ter acrescentado : Para todo n inteiro positivo, "n 
MAIOR QUE 2", seja k(n)o maior k tal que Ln_K(n) >= 1

Para n inteiro, 3 <= n < e^e => ln(n) < e => ln(ln(n)) < 1 logo, K(n)=0
e^e <= n < e^e^e => K(n)=1
e^e^e <= n < e^e^e^e => k(n)=2 e assim sucessivamente. Ve-se portanto que a 
lei de k(n) e simples.

Apesar de haver o erro que assinalei, e facil perceber onde o formulador 
errou. Era portanto possivel continuar a questao ! Me parece que o mais 
dificil aqui e decidir, COM JUSTICA PARA TODOS, se a questao deve ou nao ser 
anulada ...  Mas isso e problema da banca : que Deus os guie nesta decisao !

Um abraco
Paulo Santa Rita
3,1631,221002

>From: "Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@terra.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: [obm-l] OBM-u
>Date: Tue, 22 Oct 2002 15:34:44 -0300
>
>Eram essas as questões.
>
>Questão 1.
>O gráfico de uma função polinomial de 4o. grau é cortada por uma reta em
>quatro pontos. Mostre que existe uma reta que corta esse gráfico em 4 
>pontos
>igualmente espaçados.
>
>Questão 2.
>Uma matriz quadrada n por n tem diagonal por formada por 1s e as somas dos
>módulos dos elementos de cada linha não é maior do que 2. Mostre que o
>determinante está entre 0 (inclusive) e 1, não podendo ser 1.
>
>Questão 3.
>Sejam A_1, A_2, ..., A_k subconjuntos de {1,2,3,...,n} satisfazendo |A_i| 
> >=
>n/2 e |A_i \interseção A_j| <= n/4. Prove que |\união A_i| >= n. k / (k+1)
>
>Questão 4.
>Resolva x = sqrt(2 + sqrt(2 - sqrt(2 + x))).
>
>Questão 5.
>Define-se ln_0(x) = ln(x) e ln_(k+1)(x) = ln(ln_k(x))
>Dado n inteiro positivo seja k(n) o maior k tal que ln_k(n) >= 1.
>Defina a(n) = produtorio( ln_k(n), onde k varia de 0 até k(n) ).
>A série somatorio(1/a(n)) diverge ou converge?
>
>Questão 6.
>Duas elipses, no plano, se cortam em quatro pontos.
>Prove que as oito retas tangentes nesses pontos às duas elipses tangenciam
>uma elipse ou uma circunferência.
>
>Abraço,
>Eduardo.
>
>From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
> >
> > Ola Marcio e demais
> > colegas desta lista ... OBM-L,
> >
> > A questao e mesmo assim ? Nao entendi. Talvez eu tenha recebido a 
>mensagem
> > truncada. Da pra enuncia-la ( bem como a questao 6 a que voce tambem se
> > referiu ) tal como apareceu na prova ?
> >
> > Um Abraco
> > Paulo Santa Rita
> > 3,1422,221002
> >
> > >Ateh agora nao consegui entender o enunciado da questao 5 direito.. 
>Muito
> > >estranho aquilo.. como vc pode ter (ln...lnx) k(n) vezes se k(n) eh o
>maior
> > >inteiro k talque ln..ln(n) eh maior que 1? Dependendo do x, o ln...lnx
>pode
> > >nem mesmo estar definido..
> > >
> > >Mesmo que fosse n ao inves de x (dentro do produtorio), a questao 
>parece
> > >ser bem dificil.. Alguma ideia?
> > >
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