[obm-l] RES: [obm-l] curvas e superfícies

[Ralph Teixeira <RALPH@xxxxxx>]

Oi, Marcos, galera.

Não há uma regra que funcione sempre, mas há idéias... Uma coisa que às
vezes funciona: se você conseguir colocar todas as variáveis em função de
uma única, use-a como parâmetro. Se você conseguir eliminar algumas
variáveis e chegar a algo que você já saiba parametrizar, use isso. Neste
sentido, você tem de saber algumas parametrizações clássicas (como acos(t),
bsin(t) sempre que tivermos algo da forma x^2/a^2+y^2/b^2=1). Nos seus dois
exemplos:
 
>> 1-)  Encontar uma parametrização para a intersecção de f(x,y) = (4x^2 +
y^2)^(1/2) 
>> e z = 2*x + 1. 

Imagino que seja a intersecção entre o gráfico de f (isto é,
z=sqrt(4x^2+y^2) ) e a superfície z=2x+1...
Da primeira equação, z^2=4x^2+y^2. Substitua a segunda, fica
4x^2+4x+1=4x^2+y^2, isto é, 4x+1=y^2. Isto sugere que a gente parametrize
tudo por y.... (como já temos z em função de x, z em função de y vai sair
também).

Então fica:

y(t)=t
x(t)=(y^2-1)/4=(t^2-1)/4
z(t)=2x+1=(t^2-1)/2+1=(t^2+1)/2
(t real qualquer)

Note que não surgiram "soluções estranhas" quando eu elevei a primeira
equação ao quadrado (z(t) é sempre positivo, como deveria ser), então esta
parametrização funciona.

>> 2-) Encontar uma parametrização para a intersecção de x^2 + y^2 - 2*z^2 =
1 e 
>> y = 2*z + 1.

Note que já temos y em função de z... Se a gente conseguir uma
parametrização para x e z, acabou. Substituindo a segunda equação na
primeira...
x^2+(4z^2+4z+1)-2z^2=1
x^2+2z^2+4z=0
Não saiu tudo em função de uma variável única.... Mas esta equação é a
equação de uma elipse (transladada) no plano xz (mais exatamente, é um
cilindro com base elíptica no espaço xyz), então a gente tem de saber
parametrizar. Primeiro complete os quadrados:
x^2+2(z^2+2z+1)=2
x^2+2(z+1)^2=2
x^2/2+(z+1)^2=1
Esta pode ser parametrizada assim:
x(t)=sqrt(2)cos(t)
z(t)=-1+sin(t)
(t real ou t entre 0 e 2Pi, é a mesma curva)

Agora, é fácil achar o y:
y(t)=2z+1=2sin(t)-1

Em suma:

x(t)=sqrt(2) cos(t)
y(t)=2sin(t)-1
z(t)=sin(t)-1
t em [0,2Pi].

Abraço,
	Ralph
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