[obm-l] Re: Questão do IME de 2000

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Amigos desta lista
de discussao de problemas,

Observe que se quaisquer dois dos numeros "a, b, c, d" forem iguais entao o 
produto :

P = (a-b)(c-a)(d-a)(d-c)(d-b)(c-b)

Sera zero e, portanto, divisivel por 12. Assim, sem perda de generalidade, 
podemos supor que os numeros sao, dois a dois, distintos. Uma das formas de 
mostrar que o produto e divisivel por 12 e mostrar que ele e divisivel por 3 
e por 4.

CASO 1) E DIVISIVEL POR 3

Como sao 4 numeros inteiros, dois a dois distintos, entao, pelo algoritmo da 
divisao :

a=3*q1 + r1
b=3*q2 + r2
c=3*q3 + r3
d=3*q4 + r4

Como r1, r2, r3 e r4 sao restos de divisao por tres entao necessariamente 
pertencem ao conjunto {0,1,2} e dai segue que a quatro numeros precisamos 
associar 3 restos. Entao pelo principio de Dirichelet ( Principio das 
Gavetas, Principio das casas dos pombos ), ao menos dois deles terao o mesmo 
resto.

Supondo - sem perda de generalidade - que sejam "c" e "d" estes numeros, e 
que o resto comum seja "r", teremos :

c=3*q3 + r
d=3*q4 + r

donde :  (c-d)=3*(q3 - q4) => 3|(c-d) => 3|(d-c) => 3|P

CASO 2) E DIVISIVEL POR 4

Usando a notacao e o raciocinio do caso ANTERIOR :  Se dois deles deixarem o 
mesmo resto quando divididos por 4, a diferenca entre eles sera divisivel 
por 4 e, portanto, o produto P tambem.

Supondo que dois quaisquer nao deixam o mesmo resto quando divididos por 4, 
podemos supor, sem perda de generalidade, que :

a=4*q1
b=4*q2 + 1
c=4*q3 + 2
d=4*q4 + 3

E basta notar que :

(b-d)=(b-a)+(a-d)=[4*(q2-q1) + 1] + [4*(q1 - q4) + 3]
(b-d) = 4*(q2 - q4) + 4 = 4*(q2 - q4 + 1) => 4|(b-d) => 4|(d-b)
logo 4|P

Vemos portanto, claramente, que qualquer que sejam as hipoteses possiveis, o 
numero P sera sempre divisivel por 3 e por 4, isto e, ele e sempre divisivel 
por 12.

Um problema de alguma forma relacionado com este, porem nao tao simples como 
este, e o seguinte :

PROBLEMA RELACIONADO :

Seja I = { a1, a2, a3, ..., an } um conjunto de N numeros inteiros, dois a 
dois distintos. Suponha que ai < aj se i < j. Seja tambem P o produto  de 
todas as diferencas da forma ( aj - ai) com J > i. Qual e o maior numero 
natural D que sempre divide P, independente da escolha dos ai ?

Um Abraco
Paulo Santa Rita
2,1154,141002

>
>Gostaria que vcs me ajudassem a resolver essa questão do IME.
>Agradeço desde já pela ajuda.
>"Considere quatro números inteiros a, b, c e d. Prove que o produto:
>(a-b)(c-a)(d-a)(d-c)(d-b)(c-b)
>é divisível por 12."
>


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