RE: [obm-l] Axioma da Escolha

["Rogerio Fajardo" <rogeriofajardo@xxxxxxxxxxx>]

A maneira usual de fazer infinitas escolhas sem usar o axioma da escolha é 
conseguir uma propriedade que escolhe um elemento de cada conjunto. Por 
exemplo, os racionais são enumeráveis. Em particular, podem ser bem 
ordenados. De fato, podemos "escrever" essa boa ordem (a lexicográfica, por 
exemplo). Para escolhermos elementos de infinitos conjuntos de racionais, 
basta pegarmos o menor elemento de cada conjunto. Esse tipo de demonstração 
é construtiva, no sentido de que essa escolha não foi feita ao acaso, mas 
obedecendo uma regra explícita.

É claro, como voce ressaltou, o construtivismo não aceita princípios e 
teoremas tidos como fundamentais na matemática. A fim de eliminar algumas 
coisas estranhas da matemática, criou outras mais estranhas ainda. Trata-se 
apenas de uma forma de matemática que não é a mais usual, mas em algum 
momento pode até ser útil. Hoje há quase um consenso em aceitar o axioma da 
escolha. Mas, para alguns, um teorema que não depende do axioma da escolha 
pode ter um "status" maior do que os outros. Existem muitos trabalhos 
relacionados a independência em Teoria dos Conjuntos que mostram o que seria 
possível sem o axioma da escolha.


>From: "Artur Costa Steiner" <artur@opendf.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: RE: [obm-l] Axioma da Escolha
>Date: Fri, 13 Sep 2002 23:45:41 -0700
>
> > Apenas lembrando, porque costuma-se realçar quando se usa o axioma da
> > escolha, há uma corrente filosófica de matemáticos que não aceitam o
> > axioma
> > da escolha: os construtivistas (ou, mais geralmente, os
>intuicionistas). O
> > axioma da escolha nos garante a existência de objetos que não podemos
> > determinar quem, exatamente, ele é. Esse tipo de coisa os
>construtivistas
> > não aceitam, pois de que serve saber que existe alguma coisa que nunca
> > saberemos quem é, ou onde está? O teorema de Weierstrass, que diz que
>toda
> > função real contínua sobre um intervalo fechado assume máximo, não é
> > aceita
> > pelos construtivistas, pois não podemos exibir esse ponto de máximo.
>[Artur Costa Steiner]
>
>Ms este teorema é um dos mais importantes da matemática
>  Por
> > outro lado não podemos dizer que não existe ponto de máximo, pois isso
> > seria
> > garantir que todos os pontos não são de máximo, o que não devemos
> > assegurar.
> > Por isso na lógica intuicionista "A ou não A" pode ser falso, e A não
>é
> > equivalente a "não não A".
>[Artur Costa Steiner]
>
>Acho que é também importante lembrar que muitas provas na matemática
>basiam-se em infinitas escolhas. Por exemplo, várias das provas dos
>teoremas ligados à  compaticidade de espaços métricos enquadram-se nesta
>categoria, como o que afirma que S é compacto <===> S é sequencialmente
>compacto. Parece-me que estas provam usam o axioma da escolha. E ninguém
>as questiona.
>
>     ,
> >    Todas essas complicações geradas pelo construtivismo fizeram que
>esse
> > caísse um pouco no esquecimento. Hoje parece que há poucos matemáticos
> > construtivistas. Mas devemos nos lembrar que o argumento central que
>gerou
> > o
> > construtivismo faz sentido. Realmente, podemos pensar o que fazemos
>com
> > coisas obtidas não construtivamente. Enfim, há sempre uma fagulha de
> > construtivista em nós. É certo que os mais radicais não admitem nem
>prova
> > por absurdo, mas o axioma da escolha já seria o maior crime que se
>poderia
> > cometer contra o construtivismo. Por isso, nas demonstrações, é sempre
>bom
> > ressaltar o que é construtivo e o que não é. Por exemplo, o Paradoxo
>de
> > Banach-Tarski, sobre a duplicação da esfera, citada pelo Paulo, é
> > não-construtiva.
> >     Sobre o problema da violência, resta um consolo: se o conjunto dos
> > bandidos, dado pelo problema, já estiver bem ordenado (por exemplo, se
>é
> > enumerável), não precisamos do axioma da escolha, e não cometeremos
>uma
> > "violência" contra os intuicionistas. O difícil vai ser achar bandidos
>bem
> > ordenados...
> >
>[Artur Costa Steiner]
>Quando podemos fazer infinitas escolhas sem usar o axioma da escolha?
>Sempre que tivermos conjuntos bem ordenados? Por exemplo, se fizermos
>infinitas escolhas em infinitos subconjuntos dos racionais, então não
>precisamos do axioma?
>
>Artur
> >
>
>=========================================================================
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
>=========================================================================




_________________________________________________________________
Join the world’s largest e-mail service with MSN Hotmail. 
http://www.hotmail.com

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================