RE: [obm-l] Axioma da Escolha

["Rogerio Fajardo" <rogeriofajardo@xxxxxxxxxxx>]

A maneira usual de fazer infinitas escolhas sem usar o axioma da escolha � 
conseguir uma propriedade que escolhe um elemento de cada conjunto. Por 
exemplo, os racionais s�o enumer�veis. Em particular, podem ser bem 
ordenados. De fato, podemos "escrever" essa boa ordem (a lexicogr�fica, por 
exemplo). Para escolhermos elementos de infinitos conjuntos de racionais, 
basta pegarmos o menor elemento de cada conjunto. Esse tipo de demonstra��o 
� construtiva, no sentido de que essa escolha n�o foi feita ao acaso, mas 
obedecendo uma regra expl�cita.

� claro, como voce ressaltou, o construtivismo n�o aceita princ�pios e 
teoremas tidos como fundamentais na matem�tica. A fim de eliminar algumas 
coisas estranhas da matem�tica, criou outras mais estranhas ainda. Trata-se 
apenas de uma forma de matem�tica que n�o � a mais usual, mas em algum 
momento pode at� ser �til. Hoje h� quase um consenso em aceitar o axioma da 
escolha. Mas, para alguns, um teorema que n�o depende do axioma da escolha 
pode ter um "status" maior do que os outros. Existem muitos trabalhos 
relacionados a independ�ncia em Teoria dos Conjuntos que mostram o que seria 
poss�vel sem o axioma da escolha.


>From: "Artur Costa Steiner" <artur@opendf.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: RE: [obm-l] Axioma da Escolha
>Date: Fri, 13 Sep 2002 23:45:41 -0700
>
> > Apenas lembrando, porque costuma-se real�ar quando se usa o axioma da
> > escolha, h� uma corrente filos�fica de matem�ticos que n�o aceitam o
> > axioma
> > da escolha: os construtivistas (ou, mais geralmente, os
>intuicionistas). O
> > axioma da escolha nos garante a exist�ncia de objetos que n�o podemos
> > determinar quem, exatamente, ele �. Esse tipo de coisa os
>construtivistas
> > n�o aceitam, pois de que serve saber que existe alguma coisa que nunca
> > saberemos quem �, ou onde est�? O teorema de Weierstrass, que diz que
>toda
> > fun��o real cont�nua sobre um intervalo fechado assume m�ximo, n�o �
> > aceita
> > pelos construtivistas, pois n�o podemos exibir esse ponto de m�ximo.
>[Artur Costa Steiner]
>
>Ms este teorema � um dos mais importantes da matem�tica
>  Por
> > outro lado n�o podemos dizer que n�o existe ponto de m�ximo, pois isso
> > seria
> > garantir que todos os pontos n�o s�o de m�ximo, o que n�o devemos
> > assegurar.
> > Por isso na l�gica intuicionista "A ou n�o A" pode ser falso, e A n�o
>�
> > equivalente a "n�o n�o A".
>[Artur Costa Steiner]
>
>Acho que � tamb�m importante lembrar que muitas provas na matem�tica
>basiam-se em infinitas escolhas. Por exemplo, v�rias das provas dos
>teoremas ligados �  compaticidade de espa�os m�tricos enquadram-se nesta
>categoria, como o que afirma que S � compacto <===> S � sequencialmente
>compacto. Parece-me que estas provam usam o axioma da escolha. E ningu�m
>as questiona.
>
>     ,
> >    Todas essas complica��es geradas pelo construtivismo fizeram que
>esse
> > ca�sse um pouco no esquecimento. Hoje parece que h� poucos matem�ticos
> > construtivistas. Mas devemos nos lembrar que o argumento central que
>gerou
> > o
> > construtivismo faz sentido. Realmente, podemos pensar o que fazemos
>com
> > coisas obtidas n�o construtivamente. Enfim, h� sempre uma fagulha de
> > construtivista em n�s. � certo que os mais radicais n�o admitem nem
>prova
> > por absurdo, mas o axioma da escolha j� seria o maior crime que se
>poderia
> > cometer contra o construtivismo. Por isso, nas demonstra��es, � sempre
>bom
> > ressaltar o que � construtivo e o que n�o �. Por exemplo, o Paradoxo
>de
> > Banach-Tarski, sobre a duplica��o da esfera, citada pelo Paulo, �
> > n�o-construtiva.
> >     Sobre o problema da viol�ncia, resta um consolo: se o conjunto dos
> > bandidos, dado pelo problema, j� estiver bem ordenado (por exemplo, se
>�
> > enumer�vel), n�o precisamos do axioma da escolha, e n�o cometeremos
>uma
> > "viol�ncia" contra os intuicionistas. O dif�cil vai ser achar bandidos
>bem
> > ordenados...
> >
>[Artur Costa Steiner]
>Quando podemos fazer infinitas escolhas sem usar o axioma da escolha?
>Sempre que tivermos conjuntos bem ordenados? Por exemplo, se fizermos
>infinitas escolhas em infinitos subconjuntos dos racionais, ent�o n�o
>precisamos do axioma?
>
>Artur
> >
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