[obm-l] Axioma da Escolha

["498 - Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Nos �ltimos dias o Axioma da Escolha foi bastante mencionado nesta 
lista, motivado por um interessante problema (viol�ncia), sugerido por 
uma das participantes, e que involve este axioma.

Eu n�o estou certo, mas, no meio matem�tico, ainda existem hoje 
restri��es a este axioma, no sentido de que alguma prova nele baseada 
possa ser considerada question�vel ou mesmo inv�lida? Parece-me que a 
grande maioria dos matem�ticos o usam sem qualquer problema. Em livros 
de autores consagrados, como Rudin, Folland e Munkres, h� provas de 
teoremas que, ao que me parece, involvem implicitamente este axioma. 

Por exemplo, o conhecido teorema de que um espa�o m�trico � totalmente 
limitado se, e somente se, qualquer sequencia do mesmo contiver uma 
subsequencia de Cauchy, envolve, ao que me parece, o Axioma da Escolha. 
Na parte "se", geralmente se usa um argumento contrapositivo e mostra-
se  que, se o espa�o n�o for totalmente limitado, ent�o h� nele uma 
sequencia que n�o pode ser de Cauchy; com este objetivo gera-se uma 
sequencia escolhendo-se elementos de subconjuntos do espa�o que distem 
dos anteriores um valor maior ou igual que um dado r>0.  Na 
parte "somente", geralmente cobre-se sequencialmente o espa�o por 
cole��es finitas de bolas aberta de raio 1/n e escolhem-se termos da 
sequencia contidos nas intersec��es das bolas selecionada em cada 
passo. Isto n�o � o axioma da escolha?

V�rios teoremas sobre conjuntos compactos tamb�m envolvem escolha. Por 
exemplo, o que prova que se S (espa�o m�trico) � compacto se, e somente 
se, for sequencialmente compacto.

N�o estou certo se isto � exatamente o axioma da escolha, mas a prova 
que conhe�o do teorema que diz que todo conjunto aberto de R � dado por 
uma uni�o numer�vel e disjunta de intervalos abertos tamb�m envolve 
escolha de n�meros racionais na cole��o de intervalos para mostra que a 
mesma � numer�vel. N�o sei exatamente porque, mas como h� uma prova de 
que o conjunto dos racionais � numer�vel, parece que um processo de 
escolha de racionais n�o envolve o axioma da escolha.

Estou um tanto confuso a respeito deste axioma e qualquer contribui��o 
� bem vinda.

Um abra�o
Artur
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