[obm-l] Axioma da Escolha

["498 - Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Nos últimos dias o Axioma da Escolha foi bastante mencionado nesta 
lista, motivado por um interessante problema (violência), sugerido por 
uma das participantes, e que involve este axioma.

Eu não estou certo, mas, no meio matemático, ainda existem hoje 
restrições a este axioma, no sentido de que alguma prova nele baseada 
possa ser considerada questionável ou mesmo inválida? Parece-me que a 
grande maioria dos matemáticos o usam sem qualquer problema. Em livros 
de autores consagrados, como Rudin, Folland e Munkres, há provas de 
teoremas que, ao que me parece, involvem implicitamente este axioma. 

Por exemplo, o conhecido teorema de que um espaço métrico é totalmente 
limitado se, e somente se, qualquer sequencia do mesmo contiver uma 
subsequencia de Cauchy, envolve, ao que me parece, o Axioma da Escolha. 
Na parte "se", geralmente se usa um argumento contrapositivo e mostra-
se  que, se o espaço não for totalmente limitado, então há nele uma 
sequencia que não pode ser de Cauchy; com este objetivo gera-se uma 
sequencia escolhendo-se elementos de subconjuntos do espaço que distem 
dos anteriores um valor maior ou igual que um dado r>0.  Na 
parte "somente", geralmente cobre-se sequencialmente o espaço por 
coleções finitas de bolas aberta de raio 1/n e escolhem-se termos da 
sequencia contidos nas intersecções das bolas selecionada em cada 
passo. Isto não é o axioma da escolha?

Vários teoremas sobre conjuntos compactos também envolvem escolha. Por 
exemplo, o que prova que se S (espaço métrico) é compacto se, e somente 
se, for sequencialmente compacto.

Não estou certo se isto é exatamente o axioma da escolha, mas a prova 
que conheço do teorema que diz que todo conjunto aberto de R é dado por 
uma união numerável e disjunta de intervalos abertos também envolve 
escolha de números racionais na coleção de intervalos para mostra que a 
mesma é numerável. Não sei exatamente porque, mas como há uma prova de 
que o conjunto dos racionais é numerável, parece que um processo de 
escolha de racionais não envolve o axioma da escolha.

Estou um tanto confuso a respeito deste axioma e qualquer contribuição 
é bem vinda.

Um abraço
Artur
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