[obm-l] Fibonacci generalizado

[ghaeser@xxxxxxxxxxxxxx]

Considere o polinômio

P(x)=x^(n+1)-2.x^n+1

que também pode ser escrito como:

P(x)=(x-1).(x^n-x^(n-1)-..-x-1)

este polinômio (a menos da raiz x=1) gera as sequencias de Fibonacci generalizadas,
isto é, uma sequencia de Fibonacci generalizada de ordem n, é tal que cada
elemento é a soma dos n anteriores, com uma escolha arbitrária dos n primeiros
(pode ser todos iguais a 1 por exemplo.)

este polinômio, se n for ímpar, possui uma raiz real positiva que será o
limite de x->oo F(x+1)/F(x), que é a razão de ouro para o caso n=2
e as outras raizes sao todas complexas.

se n for par, o polinomio possui uma raiz real positiva (que será o limite
de x->oo F(x+1)/F(x)), e uma raiz real negativa.. sendo as demais complexas.

seja x1,..,xn as n raizes do polinomio, entao podemos escrever a sequencia
de Fibonacci de ordem n como sendo:

F(t)=Re[A(1).(x1)^t+..+A(n).(xn)^t]

onde F(t) é o t-ésimo número da sequencia, e as constantes A(n) podem ser
determinadas através das n condições iniciais de F.

.. o método funciona muito bem até n=4

porém com n=5, só consegui encontrar as raizes por métodos numéricos, e
mesmo com 300 casas decimais de precisão aparecem erros até mesmo nas primeiras
componentes da sequencia.

se alguem quiser ver o programa, ele está disponível em:

http://sites.uol.com.br/ghaeser/fibgen.nb

.. a minha pergunta é:

será que não consigo encontrar exatamente todas as raízes do polinômio

P(x)=x^(n+1)-2.x^n+1

O interessante é que o limite da razão entre os termos consecutivos tende
a 2, quando n tende a infinito.. o que é fácil de ver pelo polinomio.

Agradeço à comentários

Gabriel Haeser
www.gabas.cjb.net

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Gabriel Haeser
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