Re: [obm-l] ajudem na boa

[latino@xxxxxxxxxx]

> >Por favor,alguem pode dar uma luz nestes problemas?
> >Um triangulo acutangulo ABC está inscrito numa circunferencia de centro
> >O.As alturas do triangulo são AD,BE, CF. A reta EF intersecta a
> >circunferencia em P e Q. Prove q OA eh perpendicular a PQ. Prove q se M eh
> >pnt. medio de BC,entãoAP^2=2AD*OM



	Para a primeira parte, observe que provar que OA e perpendicular a
PQ e equivalente a mostrar que arc(AP) = arc(AQ). Chame o ortocentro do
triangulo de H. Como o quadrilatero AFHE e inscritivel, temos <AEF = <AHF
= <ABC. Agora, supondo P mais perto de B do que C, temos:

	<ABC = arc(AC)/2 = arc(AQ)/2 + arc(QC)/2

	<AEF = arc(AP)/2 + arc(QC)/2

como <ABC = <AEF, entao arc(AP) = arc(AQ).


	Vamos dar uma arrumada na relacao a ser provada pra ver se melhora
algo...    AP^2 = 2AD.OM  =>  AP^2 = AD.2OM => AP^2 = AD.AH. (Nao e
dificil mostrar que AH = 2OM... tente semelhanca entre os triangulos ABH e
OMN, onde N e ponto medio de AC)

Os triangulos AFH e ABD sao semelhantes, logo:

AB/AH = AD/AF  => AD.AH = AB.AF

A relacao a ser provada se transforma, entao, em:

AP^2 = AB.AF


Observe que os triangulos APF e APB sao semelhantes, pois <PAB e comum e
<APF = arc(AQ)/2 = arc(AP)/2 = <PBA. Logo:

AP/AB = AF/AP  =>  AP^2 = AB.AF, que era o que queriamos mostrar.


abracos,


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# MSc. Edson Ricardo de A. Silva    #
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