Re: [obm-l] (nenhum assunto)

[Vinicius José Fortuna <vinicius.fortuna@xxxxxxxxxxxxx>]

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From: Korshinoi@aol.com
Subject: [obm-l] (nenhum assunto)

1)Se a e b são números primos entre si, prove que mdc(a+b,a^2+ab+b^2)=1
mdc(a+b,a^2+ab+b^2) = mdc(a+b, (a+b)^2 -ab)

Existe a propriedade que mdc(x, y) = mdc(x, y-nx)
fazendo x=a+b, y=(a+b)^2 - ab, n = a temos:
mdc(a+b, (a+b)^2 -ab) = mdc(a+b, b^2) = M

M | b^2 => M | b
b = kM, k inteiro

M | (a+b) => (a+b)/M = p, p inteiro
a/M + k = p
a/M = p-k => M | a

M | a  e  M | b e mdc(a, b)=1 => M=1

mdc(a+b,a^2+ab+b^2) = M =1


2) Prove que sen(20graus) é irracional.
Os ângulos estão em graus:
sen(60) = sen(40+20) = sen(40) cos(20) + sen(20) cos(40)

sen(40) = sen(2*20) = 2*sen(20) cos(20)
cos(40) = cos(2*20) = cos(20)^2 - sen(20)^2 = 1 - 2 sen(20)^2

sen(60) = 2 sen(20) cos(20)^2 + sen(20) - 2 sen(20)^3
sen(60) = 2 sen(20) - 2 sen(20)^3 + sen(20) - 2 sen(20)^3
sen(60) = 3 sen(20) - 4 sen(20)^3

Assuma que sen(20) é racional. Soma, subtração, multiplicação e divisão
entre racionais dá um racional.
Sendo assim sen(60) seria racional, o que é um absurdo, já que sen(60) =
sqrt(3)/2
Então sen(20) é irracional.



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