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Re: [obm-l] Problema2,IMO2002 (correçao)
--- Johann Dirichlet
<peterdirichlet@yahoo.com.br> escreveu: > Essa
soluçao e do porre emocional
> COMPLEXado:):):):) do Cohen.Ja que e
> assim,vamos
> dar nossa contribuiçao ao Ceara.A minha
> resposta
> esta no final.
>
> Seja BC diametro de um
> > circunferencia com centro O. Seja A um
> > pto da circunferencia com AOB<120 graus. Seja
> D
> > medio do arco AB que nao
> > contem C. A reta por O paralela a DA encontra
> > AC em J. A mediatriz de OA
> > encontra a circunferencia em E e F. Mostre
> que
> > J eh incentro do triangulo
> > CEF.
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
> De Marcio Afonso Assad Cohen
> Vou usar a' para representar o conjugado
> > de a. Os lemas abaixo sao
> > usados toda hora em problemas de geometria, e
> > por isso eu os coloquei em
> > "evidencia".
> >
> > 1. Suponha, spg, q o circunraio de ABC eh 1.
> > Ponha B=-1, C=1, A=a^2 =
> > cis(2x); a = cis(x),
> > com 30<x<90. Note que a' = 1/a,
> (a^2)'=1/(a^2).
> > Lema1: Se x e y sao pontos do circulo
> unitario,
> > a reta que os une tem eq. z
> > + (xy)z' = x+y.
> > Lema2: Os pontos medios dos arcos formados
> > pelos complexos a^2 e b^2 sao ab
> > e -ab (de fato, se m eh medio,
> > arg(m)-arg(a)=arg(b)-arg(m) => m/a=b/m).
> >
> > 2. Determinacao do ponto J:
> > Ponto D: arg(D) = (180+2x)/2 = 90+x donde d =
> > cis(90)*cisx = ia
> > Reta AD: z + (ia^3)z' = ...
> > Reta OJ (//AD passando pela origem): z +
> > (ia^3)z' = 0 (1)
> > Reta AC:
>
> > z + (a^2)z' = a^2 + 1
> > (2)
> > Resolvendo as eqs (1) e (2), encontramos o
> > ponto J: z = a(a-i)
> >
> > 3. Determinando E,F:
> > Temos |z-a^2|=|z| (esta na mediatriz) e zz' =
> 1
> > (esta na circunferencia),
> > logo
> > (z-a^2)(z' - 1/a^2) = zz'
> > Simplificando, z^2 - (a^2)z + a^4 = 0.
> > Usando baskara ou multiplicando os 2 lados
> por
> > z+a^2, obtemos p. ex:
> > e = (a^2)cis(60) e
> > f = (a^2)cis(-60)
> >
> > 4. Ponto medio do arco CF:
> > m=acis(-30)
> > (note que, como x>30, esse ponto eh de fato o
> > que esta entre C e F, pois
> > argm = x-30>0).
> >
> > 5. J esta na bissetriz EM:
> > Eh soh ver que J verifica a eq. da reta EM: z
> +
> > (a^3)cis(30)z' = (a^2)cis60
> > + acis(-30) .
> > Eh soh substituir z=a(a-i), z'=(1+ia)/(a^2) e
> > ver que os coeficientes de a e
> > de a^2 sao iguais dos dois lados.
> >
> > 6. J esta na bissetriz de C:
> > O pto medio do arco EF que nao contem C eh
> > sqrt(e*f) = a^2 = A. Logo, a
> > bissetriz de C eh exatamente a reta CA, donde
> J
> > esta nessa bissetriz. (essa
> > parte ateh eu consegui fazer por plana :)
> >
> > 7. Logo, J pertence a duas bissetrizes, e
> > portanto eh o incentro.
> >
> >
> Soluçao de peterdirichlet.
>
> Ceara na cabeça!!!!
>
> Para se divertir:prove que EOJF e ciclico.
> Os triangulos AOF e AOE sao
> equilateros(oras,AO=FO=EO porque sao raios,e
> AF=FO,AE=EO(mediatriz).
> Provaremos o seguinte:se J for mesmo esse
> desdito
> incentro,entao AD e OJ sao paralelos.
> CA e bissetriz de angECF(oras,AE e AF medem a
> mesma coisa).Logo J e o encontro da bissetriz
> de
> angCFE e CA.Seja angEOB=4q.Esse 4q veio porque
> tive que codificar esse e-mail decentemente.
> Entao angEAB=angECB=angOEC=2q(oras,EOC e
> isosceles,angulos inscritos e so).
> arcoAD=arcoDB,logo angAOD=angDOB,logo
> AOD=30+2q,angDOE=30-2q.
> 60=angEAO=angEAB+angBAO=2q+angBAO,
> logo angBAO=60-2q.BC e diametro,logo
> angBAC=90,e
> angOAC=30+2q.Como angOAF=60,angCAF=30-2q,e
> angFEC=30-2q(mesmo arco).E angEFC=angEAC=90+22.
> FJ e bissetriz,angJFC=angEFJ=45+q,e
> angOFJ=15+q.Por Angulo
> Externo,angAJF=angJFC+angFCJ=75+q.Logo os
> triangulos JAF e OAJ sao isosceles.Como
> angOAJ=30+2q,entao angAOJ=75-q.
> Como angDOE=30-2q,angEAD=15-q.E angDAO=75-q,que
> por acaso e angAOJ.Logo por paralelismo(AO
> transversal),acabou!
> Mais umna do paulista do Ceara,Peter Gustav
> Lejeune Dirichlet.
> Falta provar o reciproco.Isso sai por
contradiçao.De fato se o incentro de CEF nao tem
essa propriedade,basta construir a reta OJ e ver
que I=J.
O fato de que AOB esta entre 0 e 120 garante que
os angulos sao positivos.E fim!!!!
> =====
> TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRE
> CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA
> INSIGNIA TRIBUERE
> Fields Medal(john Charles Fields)
>
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