[obm-l] Problema2,IMO2002

[Johann Dirichlet <peterdirichlet@xxxxxxxxxxxx>]

Essa soluçao e do porre emocional
COMPLEXado:):):):) do Cohen.Ja que e assim,vamos
dar nossa contribuiçao ao Ceara.A minha resposta
esta no final. 

Seja BC diametro de um
> circunferencia com centro O. Seja A um
> pto da circunferencia com AOB<120 graus. Seja D
> medio do arco AB que nao
> contem C. A reta por O paralela a DA encontra
> AC em J. A mediatriz de OA
> encontra a circunferencia em E e F. Mostre que
> J eh incentro do triangulo
> CEF.


























De Marcio Afonso Assad Cohen
  Vou usar a' para representar o conjugado
> de a. Os lemas abaixo sao
> usados toda hora em problemas de geometria, e
> por isso eu os coloquei em
> "evidencia".
> 
> 1. Suponha, spg, q o circunraio de ABC eh 1.
> Ponha B=-1, C=1, A=a^2 =
> cis(2x); a = cis(x),
> com 30<x<90. Note que a' = 1/a, (a^2)'=1/(a^2).
> Lema1: Se x e y sao pontos do circulo unitario,
> a reta que os une tem eq. z
> + (xy)z' = x+y.
> Lema2: Os pontos medios dos arcos formados
> pelos complexos a^2 e b^2 sao ab
> e -ab (de fato, se m eh medio,
> arg(m)-arg(a)=arg(b)-arg(m) => m/a=b/m).
> 
> 2. Determinacao do ponto J:
> Ponto D: arg(D) = (180+2x)/2 = 90+x donde d =
> cis(90)*cisx = ia
> Reta AD:             z + (ia^3)z' = ...
> Reta OJ (//AD passando pela origem):   z +
> (ia^3)z' = 0            (1)
> Reta AC:                                       
>        z + (a^2)z' = a^2 + 1
> (2)
> Resolvendo as eqs (1) e (2), encontramos o
> ponto J: z = a(a-i)
> 
> 3. Determinando E,F:
> Temos |z-a^2|=|z| (esta na mediatriz) e zz' = 1
> (esta na circunferencia),
> logo
> (z-a^2)(z' - 1/a^2) = zz'
> Simplificando, z^2 - (a^2)z + a^4 = 0.
> Usando baskara ou multiplicando os 2 lados por
> z+a^2, obtemos p. ex:
> e = (a^2)cis(60)  e
> f = (a^2)cis(-60)
> 
> 4. Ponto medio do arco CF:
> m=acis(-30)
> (note que, como x>30, esse ponto eh de fato o
> que esta entre C e F, pois
> argm = x-30>0).
> 
> 5. J esta na bissetriz EM:
> Eh soh ver que J verifica a eq. da reta EM: z +
> (a^3)cis(30)z' = (a^2)cis60
> + acis(-30) .
> Eh soh substituir z=a(a-i), z'=(1+ia)/(a^2) e
> ver que os coeficientes de a e
> de a^2 sao iguais dos dois lados.
> 
> 6. J esta na bissetriz de C:
> O pto medio do arco EF que nao contem C eh
> sqrt(e*f) = a^2 = A. Logo, a
> bissetriz de C eh exatamente a reta CA, donde J
> esta nessa bissetriz. (essa
> parte ateh eu consegui fazer por plana :)
> 
> 7. Logo, J pertence a duas bissetrizes, e
> portanto eh o incentro.
> 
> 
Soluçao de peterdirichlet.

Ceara na cabeça!!!!

Para se divertir:prove que EOJF e ciclico.
Os triangulos AOF e AOE sao
equilateros(oras,AO=FO=EO porque sao raios,e
AF=FO,AE=EO(mediatriz).
Provaremos o seguinte:se J for mesmo esse desdito
incentro,entao AD e OJ sao paralelos.
CA e bissetriz de angECF(oras,AE e AF medem a
mesma coisa).Logo J e o encontro da bissetriz de
angCFE e CA.Seja angEOB=4q.Esse 4q veio porque
tive que codificar esse e-mail decentemente.
Entao angEAB=angECB=angOEC=2q(oras,EOC e
isosceles,angulos inscritos e so).
arcoAD=arcoDB,logo angAOD=angDOB,logo
AOD=30+2q,angDOE=30-2q.
60=angEAO=angEAB+angBAO=2q+angBAO,
logo angBAO=60-2q.BC e diametro,logo angBAC=90,e
angOAC=30+2q.Como angOAF=60,angCAF=30-2q,e
angFEC=30-2q(mesmo arco).E angEFC=angEAC=90+22.
FJ e bissetriz,angJFC=angEFJ=45+q,e
angOFJ=15+q.Por Angulo
Externo,angAJF=angJFC+angFCJ=75+q.Logo os
triangulos JAF e OAJ sao isosceles.Como
angOAJ=30+2q,entao angAOJ=75-q.
Como angDOE=30-2q,angEAD=15-q.E angDAO=75-q,que
por acaso e angAOJ.Logo por paralelismo(AO
transversal),acabou!
Mais umna do paulista do Ceara,Peter Gustav
Lejeune Dirichlet.

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TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRE
CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBUERE
Fields Medal(john Charles Fields)

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