[obm-l] Problema 5 da IMO 2002

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

   Caros colegas,
   Segue (depois de um bom espaco) uma solucao para o problema 5.
   Abracos,
           Gugu

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   Fazendo t=y=0 e x=z temos 4f(0)f(x)=2f(0),donde f(0)=0 ou f(x)=1/2 para
todo x (o que da' uma solucao).A seguir suporemos entao f(0)=0.
   Fazendo z=y=t=x,temos 4f(x)^2=f(0)+f(2.x^2),logo f(2.x^2)=4.f(x)^2.Assim,
se u>=0,f(u)=4.f(rquad(u/2))^2>=0. [rquad denota raiz quadrada]
   Fazendo x=t=0,temos f(y)f(z)=f(yz),e fazendo x=y=0,temos f(z)f(t)=f(-zt).
Assim,f(u)=f(u.1)=f(u)f(1)=f(-u.1)=f(-u),ou seja,f e' uma funcao par,e,pela
observacao anterior,f(u)>=0 para todo u.Basta agora calcular f(u) para u>=0.
   Fazendo x=t=u e y=z=v,temos (f(u)+f(v))^2=f(u^2+v^2)=f(rquad(u^2+v^2))^2.
Assim,se 0<=x<=y,fazendo z=rquad(y^2-x^2),temos
f(x)^2<=(f(x)+f(z))^2=f(rquad(x^2+z^2))^2=f(y)^2,logo f(x)<=f(y),ou seja,
f e' monotona nao-decrescente em R+.
   Temos f(1)=f(1.1)=f(1).f(1).Assim,f(1)=1 ou f(1)=0.No segundo caso,temos
f(x)=f(x.1)=f(x).f(1)=0 para todo x,o que tambem da' uma solucao.Vamos supor
entao que f(1)=1.Vamos mostrar que para  n natural temos f(nz)=n^2.f(z) para
todo z,por inducao.De fato isso vale para n=0 e n=1.Fazendo y=t=1,temos
2(f(x)+f(z))=2f(1)(f(x)+f(z))=f(x-z)+f(x+z).Fazendo x=nz,temos,para n>=1,
2(n^2.f(z)+f(z))=2(f(nz)+f(z))=f((n-1)z)+f((n+1)z)=(n-1)^2.f(z)+f((n+1)z),
donde f((n+1)z)=(2(n^2+1)-(n-1)^2).f(z)=(n+1)^2.f(z),cqd.
   Fazendo z=1,temos f(n)=n^2.f(1)=n^2 para todo n natural,e fazendo z=p/q
com p e q inteiros positivos temos p^2=f(p)=f(q.p/q)=q^2.f(p/q),donde
f(p/q)=(p/q)^2.Assim,f(x)=x^2 para todo x racional positivo.Vamos mostrar
que de fato f(x)=x^2 para todo x real positivo (e portanto para todo x real,
pois se x e' negativo,-x e' positivo e teriamos f(x)=f(-x)=(-x)^2=x^2).
Suponha que nao,i.e.,que existe x positivo tal que f(x) e' diferente de x^2.
Vamos supor que f(x) > x^2 (o outro caso e' analogo).Seja p/q um racional
tal que x < p/q < rquad (f(x)). Devemos ter f(x)<=f(p/q),mas 
f(p/q)=(p/q)^2<f(x),absurdo.
   Assim,as unicas funcoes f que satisfazem o enunciado sao:f(x)=1/2 para
todo x,f(x)=0 para todo x e f(x)=x^2 para todo x.
   Abracos,
           Gugu
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