[obm-l] Problema 3 da IMO 2002

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

   Oi pessoal,
   Acho que o problema que eu mais gostei foi o 3,e nao resisti a escrever
uma solucao (ainda estimulado pela solucao do problema 6 que o Luciano
mandou).Como sempre vamos colocar um bom espaco para nao atrapalhar quem
quiser pensar sozinho.Lembramos o enunciado:
Ache todos os pares de inteiros m,n>=3 para os quais existem infinitos
inteiros positivos a tais que (a^m+a-1)/(a^n+a^2-1) e' inteiro.

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Sugestao:Prove que o polinomio x^n+x^2-1 deve dividir o polinomio x^m+x-1.
Considere a unica raiz de x^n+x^2-1,que tambem deve ser raiz de x^m+x-1.
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     Vamos la':Seja x^m+x-1=Q(x)(x^n+x^2-1)+R(x),com Q e R polinomios de
coeficientes inteiros e grau(R)<n.Temos entao (a^m+a-1)/(a^n+a^2-1)=
=Q(a)+R(a)/(a^n+a^2-1).Como grau(R)<n,R(x)/(x^n+x^2-1) tende a 0 quando x
tende a infinito,logo,como R(a)/(a^n+a^2-1) deve ser inteiro para infinitos
valores inteiros de a,devemos ter R(a)=0 para infinitos valores inteiros de
a,donde R e' identicamente nulo,ou seja,x^n+x^2-1 divide x^m+x-1.
    Temos x^m+x-1-x^(m-n)(x^n+x^2-1)=-x^(m-n+2)+x^(m-n)+x-1=
=(1-x)(x^(m-n+1)+x^(m-n)-1).Como 1-x e' primo com x^n+x^2-1,pois 1 nao e'
raiz de x^n+x^2-1,se x^n+x^2-1 divide x^m+x-1 entao x^n+x^2-1 divide
x^(m-n+1)+x^(m-n)-1.
    Seja agora c a (unica) raiz de x^n+x^2-1 no intervalo (0,1).Se x^n+x^2-1
divide x^m+x-1 entao c tambem e' raiz de x^m+x-1.Vamos mostrar que,nesse
caso,devemos ter m < 2n. De fato,temos 0=b^n+b^2-1=b^m+b-1,donde
b^n-b^m=b-b^2. Se tivessemos m >= 2n, teriamos b-b^2=b^n-b^m >= b^n-b^(2n).
Considere a funcao f(x)=x-x^2=x(1-x).Temos que f e' crescente em (0,1/2) e
decrescente em (1/2,1).Temos b^n=1-b^2 >= 1-b. Como n >= 3, b^n < b^2, e
como b^n+b^2=1,temos b^n < 1/2 e b > b^2 > 1/2, donde 1-b < 1/2.Assim,
b^n-b^(2n)=f(b^n) < f(1-b)=f(b)=b-b^2,absurdo.
    Assim,m<2n,donde n >= m-n+1. Como x^n+x^2-1 divide x^(m-n+1)+x^(m-n)-1,
devemos ter entao x^n+x^2-1=x^(m-n+1)+x^(m-n)-1,donde m-n+1=n e m-n=2, logo
n=3 e m=5,que e' a unica solucao.
    Abracos,
            Gugu
 
















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