Re: [obm-l] IMO dia 1, Q2 (solucao)(comentario de JOHANN)

[Johann Dirichlet <peterdirichlet@xxxxxxxxxxxx>]

Mas tu e um porre hein Cohen??????
Pra que complexos se da pra fazer com Geometria
Cearense(marcar angulos ate se cansar)?
Essa soluçao e parecida com a do Daniel Uno para
a questao 1 da IMOP da Coreia(veja Eureka 9 no
site da OBM). 

Eu nao vou passar a soluçao integral que eu
fiz.Mas essas dicas ja dao conta do recado.
Prove que os triangulos AOF e AOE sao
equilateros.
Chame angBOE=4x e calcule todos os angulos em
funçao de x.Desenhe o ponto I incentro de CEF(que
deve ser o J,certo?).Provaremos que
angDAO=angAOI,o que acarreta o paralelismo. 
Veja que CA e bissetriz de angECF,logo I
e encontro de CA e a bissetriz de angEFC.
Agora faça o arrastao(marque tudo que e angulo)e 
pronto!!!!!!!!E so ver depois de infindaveis
contas que OAJ e isosceles.
Como brincadeira prove que EOJF e ciclico(olhe
para AO,AJ,...
 --- Marcio <mcohen@iis.com.br> escreveu: > Essa
eh para fortalecer os numeros complexos (o
> enunciado "traduzido" esta
> no final).
> Q2)  Vou usar a' para representar o conjugado
> de a. Os lemas abaixo sao
> usados toda hora em problemas de geometria, e
> por isso eu os coloquei em
> "evidencia".
> 
> 1. Suponha, spg, q o circunraio de ABC eh 1.
> Ponha B=-1, C=1, A=a^2 =
> cis(2x); a = cis(x),
> com 30<x<90. Note que a' = 1/a, (a^2)'=1/(a^2).
> Lema1: Se x e y sao pontos do circulo unitario,
> a reta que os une tem eq. z
> + (xy)z' = x+y.
> Lema2: Os pontos medios dos arcos formados
> pelos complexos a^2 e b^2 sao ab
> e -ab (de fato, se m eh medio,
> arg(m)-arg(a)=arg(b)-arg(m) => m/a=b/m).
> 
> 2. Determinacao do ponto J:
> Ponto D: arg(D) = (180+2x)/2 = 90+x donde d =
> cis(90)*cisx = ia
> Reta AD:             z + (ia^3)z' = ...
> Reta OJ (//AD passando pela origem):   z +
> (ia^3)z' = 0            (1)
> Reta AC:                                       
>        z + (a^2)z' = a^2 + 1
> (2)
> Resolvendo as eqs (1) e (2), encontramos o
> ponto J: z = a(a-i)
> 
> 3. Determinando E,F:
> Temos |z-a^2|=|z| (esta na mediatriz) e zz' = 1
> (esta na circunferencia),
> logo
> (z-a^2)(z' - 1/a^2) = zz'
> Simplificando, z^2 - (a^2)z + a^4 = 0.
> Usando baskara ou multiplicando os 2 lados por
> z+a^2, obtemos p. ex:
> e = (a^2)cis(60)  e
> f = (a^2)cis(-60)
> 
> 4. Ponto medio do arco CF:
> m=acis(-30)
> (note que, como x>30, esse ponto eh de fato o
> que esta entre C e F, pois
> argm = x-30>0).
> 
> 5. J esta na bissetriz EM:
> Eh soh ver que J verifica a eq. da reta EM: z +
> (a^3)cis(30)z' = (a^2)cis60
> + acis(-30) .
> Eh soh substituir z=a(a-i), z'=(1+ia)/(a^2) e
> ver que os coeficientes de a e
> de a^2 sao iguais dos dois lados.
> 
> 6. J esta na bissetriz de C:
> O pto medio do arco EF que nao contem C eh
> sqrt(e*f) = a^2 = A. Logo, a
> bissetriz de C eh exatamente a reta CA, donde J
> esta nessa bissetriz. (essa
> parte ateh eu consegui fazer por plana :)
> 
> 7. Logo, J pertence a duas bissetrizes, e
> portanto eh o incentro.
> 
> Estive tentando fazer as questoes do primeiro
> dia da prova.. Comecei pela 2,
> que achei mais facil, e depois tentei a
> primeira.. parei de tentar a 3 agora
> pq nao estava produzindo muita coisa.. Nos
> proximos dois emails vou mandar
> minhas ideias/solucoes.. Mandem as suas tmb!
> 
> Abracos,
> Marcio
> 
> ----- Original Message -----
> From: "Ralph Teixeira" <RALPH@fgv.br>
> To: "'Rodrigo Villard Milet '"
> <villard@vetor.com.br>; "'Obm '"
> <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Friday, July 26, 2002 10:10 AM
> Subject: RE: [obm-l] IMO!?!?
> 
> 
> > Let \ $BC$ be a diameter of the circle
> ${\Gamma}$ with
> > centre $O$. \ Let $A$ be a point on $\Gamma$
> such that $0{{}^\circ
> > }<\angle AOB<120{{}^\circ}$. \ Let $D$ be the
> midpoint of the
> > arc $AB$ not containing $C$. \ The line
> through $O$ parallel
> > to $DA$ meets the line $AC$ at $J$. \ The
> perpendicular bisector
> > of $OA$ meets $\Gamma$ at $E$ and at $F$. \
> Prove that $J$ is
> > the incentre of the triangle $CEF$.
> 
> "Traducao": Seja BC diametro de um
> circunferencia com centro O. Seja A um
> pto da circunferencia com AOB<120 graus. Seja D
> medio do arco AB que nao
> contem C. A reta por O paralela a DA encontra
> AC em J. A mediatriz de OA
> encontra a circunferencia em E e F. Mostre que
> J eh incentro do triangulo
> CEF.
> 
> 
>
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> e usar a lista em
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