[obm-l] IMO dia 1, Q2 (solucao)

["Marcio" <mcohen@xxxxxxxxxx>]

Essa eh para fortalecer os numeros complexos (o enunciado "traduzido" esta
no final).
Q2)  Vou usar a' para representar o conjugado de a. Os lemas abaixo sao
usados toda hora em problemas de geometria, e por isso eu os coloquei em
"evidencia".

1. Suponha, spg, q o circunraio de ABC eh 1. Ponha B=-1, C=1, A=a^2 =
cis(2x); a = cis(x),
com 30<x<90. Note que a' = 1/a, (a^2)'=1/(a^2).
Lema1: Se x e y sao pontos do circulo unitario, a reta que os une tem eq. z
+ (xy)z' = x+y.
Lema2: Os pontos medios dos arcos formados pelos complexos a^2 e b^2 sao ab
e -ab (de fato, se m eh medio, arg(m)-arg(a)=arg(b)-arg(m) => m/a=b/m).

2. Determinacao do ponto J:
Ponto D: arg(D) = (180+2x)/2 = 90+x donde d = cis(90)*cisx = ia
Reta AD:             z + (ia^3)z' = ...
Reta OJ (//AD passando pela origem):   z + (ia^3)z' = 0            (1)
Reta AC:                                               z + (a^2)z' = a^2 + 1
(2)
Resolvendo as eqs (1) e (2), encontramos o ponto J: z = a(a-i)

3. Determinando E,F:
Temos |z-a^2|=|z| (esta na mediatriz) e zz' = 1 (esta na circunferencia),
logo
(z-a^2)(z' - 1/a^2) = zz'
Simplificando, z^2 - (a^2)z + a^4 = 0.
Usando baskara ou multiplicando os 2 lados por z+a^2, obtemos p. ex:
e = (a^2)cis(60)  e
f = (a^2)cis(-60)

4. Ponto medio do arco CF:
m=acis(-30)
(note que, como x>30, esse ponto eh de fato o que esta entre C e F, pois
argm = x-30>0).

5. J esta na bissetriz EM:
Eh soh ver que J verifica a eq. da reta EM: z + (a^3)cis(30)z' = (a^2)cis60
+ acis(-30) .
Eh soh substituir z=a(a-i), z'=(1+ia)/(a^2) e ver que os coeficientes de a e
de a^2 sao iguais dos dois lados.

6. J esta na bissetriz de C:
O pto medio do arco EF que nao contem C eh sqrt(e*f) = a^2 = A. Logo, a
bissetriz de C eh exatamente a reta CA, donde J esta nessa bissetriz. (essa
parte ateh eu consegui fazer por plana :)

7. Logo, J pertence a duas bissetrizes, e portanto eh o incentro.

Estive tentando fazer as questoes do primeiro dia da prova.. Comecei pela 2,
que achei mais facil, e depois tentei a primeira.. parei de tentar a 3 agora
pq nao estava produzindo muita coisa.. Nos proximos dois emails vou mandar
minhas ideias/solucoes.. Mandem as suas tmb!

Abracos,
Marcio

----- Original Message -----
From: "Ralph Teixeira" <RALPH@fgv.br>
To: "'Rodrigo Villard Milet '" <villard@vetor.com.br>; "'Obm '"
<obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, July 26, 2002 10:10 AM
Subject: RE: [obm-l] IMO!?!?


> Let \ $BC$ be a diameter of the circle ${\Gamma}$ with
> centre $O$. \ Let $A$ be a point on $\Gamma$ such that $0{{}^\circ
> }<\angle AOB<120{{}^\circ}$. \ Let $D$ be the midpoint of the
> arc $AB$ not containing $C$. \ The line through $O$ parallel
> to $DA$ meets the line $AC$ at $J$. \ The perpendicular bisector
> of $OA$ meets $\Gamma$ at $E$ and at $F$. \ Prove that $J$ is
> the incentre of the triangle $CEF$.

"Traducao": Seja BC diametro de um circunferencia com centro O. Seja A um
pto da circunferencia com AOB<120 graus. Seja D medio do arco AB que nao
contem C. A reta por O paralela a DA encontra AC em J. A mediatriz de OA
encontra a circunferencia em E e F. Mostre que J eh incentro do triangulo
CEF.


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