Re: [obm-l] duvida em limite

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Jun 26, 2002 at 02:09:18AM -0300, Marcos Reynaldo wrote:
> Caros colegas, talvez voces possam me ajudar em numa
> duvida.
> Resolvendo uns problemas de Cálculo do livro Calculo A
> da Diva Marilia e Miriam Buss, me deparei com o limite
> de raiz quadrada de x quando x tende a zero. Pelo que
> eu lembro, esse limite não existe. Mas as autoras do
> livro do Cálculo A, resolvem um exercicio que envolvem
> a soma de três funções dentre elas raiz de x e 1/x^2
> (a outra não lembro, mas é tipo x, vamos dizer), da
> seguinte forma lim (x + raiz x + 1/x^2) quando x tende
> a zero = 0 + 0 + infinito = + infinito. Ora, mais ai
> ela considera que lim de raz x quando x tende a zero é
> 0. Olhei um exercicio do Guidorizzi (lim raiz de x
> quando x tende a zero) e ele dá como resposta 0.
> Não sei se não aprendi direito, mas como pode ser
> zero? Pela direita tudo bem , mas pela esquerda temos
> números complexos e esse conjunto não eh ordenado para
> falar que tende a zero. 
> Gostaria de saber dos colegas quem estah certo eu ou
> os autores.

Antes de mais nada é bom observar que os livros de cálculo
não costumam ser muito cuidadosos com as definições.
Às vezes não são nem consistentes. Se você deseja ver
definições cuidadosas de limite, continuidade, ou qualquer
outro conceito visto nos cursos de cálculo você deve consultar
um bom livro de análise. O livro do Elon (curso de análise, vol 1,
projeto Euclides) é um exemplo de um bom livro de análise.

Mas respondendo sua pergunta, uma definição usual de limite
(escrita mais cuidadosamente do que em alguns livros de cálculo)
é a seguinte:

Seja f : A -> R uma função, A um subconjunto de R.
Seja x0 um ponto de R que pode estar em A ou não
mas deve ser ponto de acumulação de A.
Então

lim_{x -> x0} f(x) = L

se e somente se

para todo número real epsilon > 0 existe um número real delta > 0 tal que
se 0 < |x - x0| < delta, x em A então |f(x) - L| < epsilon.

Dado um conjunto A de números reais e x0 um número real dizemos que
x0 é ponto de acumulação de A se para todo epsilon > 0 existir x em A
com 0 < |x - x0| < epsilon.

Se x0 não for ponto de acumulação de A a definição fica meio sem pé
nem cabeça, qualquer número é limite (por vacuidade).

De acordo com esta definição é correto dizer que o limite de sqrt(x)
quando x -> 0 é igual a 0. Note que o domínio da função sqrt é o intervalo
[0, +infinito).

Note também que o limite da soma é a soma dos limites para funções com
o mesmo domínio (ou pelo menos com um domínio comum grande).
Se definirmos f: (0,1) -> R, f(x) = x e g: (-1,0) -> R, g(x) = x
então temos lim_{x -> 0} f(x) = 0 e lim_{x -> 0} g(x) = 0 mas
lim_{x -> 0} (f(x) + g(x)) não faz o menor sentido pois f(x) + g(x)
não está definida nunca.

[]s, N.
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