Re: [obm-l] duvida em limite

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

From: "Marcos Reynaldo" <marc_reybr@yahoo.com.br>
[Primeiro e-mail]
> Caros colegas, talvez voces possam me ajudar em numa
> duvida.
> Resolvendo uns problemas de Cálculo do livro Calculo A
> da Diva Marilia e Miriam Buss, me deparei com o limite
> de raiz quadrada de x quando x tende a zero. Pelo que
> eu lembro, esse limite não existe. Mas as autoras do
> livro do Cálculo A, resolvem um exercicio que envolvem
> a soma de três funções dentre elas raiz de x e 1/x^2
> (a outra não lembro, mas é tipo x, vamos dizer), da
> seguinte forma lim (x + raiz x + 1/x^2) quando x tende
> a zero = 0 + 0 + infinito = + infinito. Ora, mais ai
> ela considera que lim de raz x quando x tende a zero é
> 0. Olhei um exercicio do Guidorizzi (lim raiz de x
> quando x tende a zero) e ele dá como resposta 0.
> Não sei se não aprendi direito, mas como pode ser
> zero? Pela direita tudo bem , mas pela esquerda temos
> números complexos e esse conjunto não eh ordenado para
> falar que tende a zero.
> Gostaria de saber dos colegas quem estah certo eu ou
> os autores.

Marcos,

depende do domínio que está sendo considerado.

Na função
raiz : R^(+) -> R
raiz(x) = x^(1/2)
certamente temos lim( raiz(x) , x->0 ) = 0, pelo que você mesmo disse, pois
pela direita o limite é zero e como ela não está definida à esquerda de
zero, não há mais o que se considerar.

No caso complexo, podemos definir uma função raiz (contínua) que satisfaz
(raiz(z))^2 = z somente em um pedaço do plano complexo, por exemplo para
z = r * e^(i*a) onde r > 0 e -pi < a < pi
definimos
raiz(z) = raiz(r) * e^(i*(a/2))
e raiz(0) = 0
nesse domínio (que é os complexos tirando fora os números reais negativos)
temos lim( raiz(z) , z->0 ) = 0, mas aqui o limite é num sentido um pouco
diferente do limite que você viu para os números reais.

Para se definir limite nos complexos você procede assim: numa sequência de
complexos z_n dizemos que ela é convergente ao limite z, se for satisfeita a
seguinte condição: para todo e>0 existe um N tal que n > N implica |z - z_n|
< e. Ou seja, a partir de um certo n os z_n ficam muito próximos (no plano
complexo) de z. Assim, você não precisa de uma ordem para definir o limite,
só precisa de uma função (a chamada métrica) que calcula a distância de
elementos. (existem ainda outras formas de definir limite sem utilizar
métricas, só para constar)

A idéia de limite é, na verdade, muito mais geral que o caso real, portanto.


[Segundo e-mail]
> Outra duvida, a maioria dos livros de calculo define
> que uma funcao eh continua num ponto x=a quando
> 1) f(a) existe
> 2) lim f(x) quando x tende a a existe
> 3) lim f(x) quando x tende a a = f(a)
>
> Ora mas a primeira condicão não tem sentido nenhum.
> Pra analisar se uma função é continua tem que analisar
> nos pontos do dominio da função e não fora. Portanto
> f(a) sempre existe. Dessa definição poderia concluir
> então que se f(a) não existe a função é descontinua.
> Mas não se pode falar nada pois ela nem é definida. É
> a mesma coisa que perguntar qual a cor dos olhos da
> mula sem cabeça. Se não tem cabeça como posso dizer
> que isso ou aquilo.
> Tô errado na minha consideração ?
>
> []'s Marcos

A primeira condição tem sentido sim, e quer dizer que "a" pertence ao
domínio da f.
O fato de f(a) existir é puramente uma questão de como foi definida a função
f. Por exemplo, a função
f: R-{0} -> R
f(x) = 1, pra todo x do domínio
é contínua em todos os pontos de seu domínio (os reais não nulos), mas não
faz sentido perguntar se a f é contínua no zero, afinal não podemos comparar
o valor lim( f(x), x-> 0) (que nesse caso existe e é igual a 1) com f(0),
pois nem definimos quanto é f no zero. (e vale a sua comparação, é como
perguntar a cor dos olhos da mula sem cabeça). É claro que nós podemos
estender (aumentar o domínio da função) a f para todos os reais definindo
f(0)=1 e aí a nova f vai ser contínua em zero.

Vou me repetir mais uma vez, o que a definição diz é que só podemos
perguntar se a f é contínua num determinado ponto se ela estiver definida
naquele ponto.

Acho que esclareci um pouco.

Um abraço!

Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.



=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================