Re: [obm-l] Re: [obm-l] Mais duvidas de analitica/geo plana

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Caro Peterdirichlet.

> Meu,pelo que saiba essas coisas de analitica se provam na porrada e sem
> escrupulos.Basta verificar isso traçando paralelas aos ejes do sistema
cartesiano.
> Quanto ao paralelogramo da para usar complexos.Depois eu jogo essa
soluçao.
> Peterdirichlet
>

Não sei o que você quer dizer por "sem escrúpulos", mas pelo que entendi
vocês não devem ter recebido uma mensagem que enviei à lista e que mostrava
aquela relação a ver com um determinante que nada tem de "misterioso".

O modo como eu fiz não é violento, portanto ninguém deve sair ferido...

Reenvio abaixo a minha mensagem.

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Ola!

Um jeito de esclarever sua dúvida é fazer o seguinte.

Sejam (a,b) e (c,d) dois pontos distintos do plano. Prove o seguinte: Se o
ponto (x,y) pertence à reta que passa pelos dois pontos então existe um real
t tal que
t*(a,b) + (1-t)*(c,d) = (x,y)

Repare que o grafico da função t -> t*(a,b) + (1-t)*(c,d) é uma reta, e
calcule t=0 e t=1 para ver que ela passa pelos pontos (a,b) e (c,d).

Depois de provar isso, use as propriedades do determinante.

Se o determinante for
     | x  y   1 |
     |  a b   1 | = 0
     |  c d   1 |
então as linhas são linearmente dependentes. Como as duas últimas são
linearmente independentes segue que a primeira é combinação das duas últimas
(x,y,1) = q*(a,b,1) + p*(c,d,1)

Temos q + p = 1, substitui q = t e p = 1 - t
(x,y,1) = t*(a,b,1) + (1-t)*(c,d,1)
o que implica
(x,y) = t*(a,b) + (1-t)*(c,d)
e daí (x,y) pertence à reta que passa por (a,b) e (c,d).

Reciprocamente, se (x,y) pertence à essa reta, existe t tal que
(x,y) = t*(a,b) + (1-t)*(c,d)
e daí
(x,y,1) = t*(a,b,1) + (1-t)*(c,d,1)
o que implica que (x,y,1) é combinação linear de (a,b,1) e (c,d,1) daí o
determinante
    | x  y   1 |
    |  a b   1 | = 0
    |  c d   1 |
o que completa a prova.

Em relação à primeira observação, a saber, que todos os pontos da reta são
obtidos multiplicando-se
| a  b | | x |
| c  d |.| y |
tenho que dizer que ela não é verdadeira. Por que? Ponha (a,b) = (1,0) e
(c,d) = (0,1), todos que estudaram um pouco de matrizes sabem que todos os
pontos do plano podem ser obtidos fazendo a multiplicação matricial aí de
cima, portanto não se trate de uma reta. Uma possibilidade, em termos de
multiplicação seria
| a  c | | t  |
| b d |.|1-t|
o que é igual à primeira observação do e-mail.

Um abraço!

Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.
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