[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão : série/sequência

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Eu acho que essa solução está difícil de ler. Vou tentar ser mais breve.

Sejam s(n) = \sum_{k=1...n}{a(k)} e s = lim{s(k)}. Escolha arbitrariamente
um e > 0. Existem dois inteiros p < q tais que |s(n) - s(p)| < e sempre que
n > q. Dessa forma temos que
| \sum_{k=1...n}{ ( ka(k) )/n } | <=
| \sum_{k=1...p}{ ( ka(k) )/n } | + | \sum_{k=p+1...n}{ ( ka(k) )/n } | <=
| \sum_{k=1...p}{ ( pa(k) )/n } | + | \sum_{k=p+1...n}{ ( na(k) )/n } | =
|p/n| * |s(p)| + |s(n) - s(p)| <=
|p/n| * (|S| + e) + e

Essa última expressão pode ser feita muito pequena, desde que n seja grande.

Acho que agora está melhor.

Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.


From: "Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@terra.com.br>
> E aí, Villard?
>
> Espero que essa solução seja suficientemente elegante. :)
>
> Fixe um E > 0. (esse é o epsilon dos livros de análise)
> Suponha S = SOMATÓRIO{k=1...infinito : a_k} e s_n = SOMATÓRIO{k=1...n :
a_k}
>
> Pela definição, existe um n_1 tal que n > n_1 implica
> |S - s_n | < 2E ou ainda
> | SOMATÓRIO{k=n+1...infinito : a_k}| < 2E
>
> Mantenha esse n_1 fixado.
> Essa última implica que existe um n_2 tal que se n > n_2 então
> | SOMATÓRIO{k=n_1+1...n : a_k}| < E
>
> Agora escolha um n_3 > n_2 tal que se n > n_3 então
> (n_1 / n) < E
>
> Repito os passos: escolhemos o n_1 tal que S_n fosse perto do limite para
> todo n > n_1
> Aí escolhemos um n_2 para que |s_n - s_(n_1+1)| fosse pequeno para todo n
>
> n_2
> Por fim, escolhemos um n_3 maior que n_1 e n_2 tal que (1/n) * n_1 < E
>
> Suponha que n > n_3 então
> | SOMATÓRIO{k=1...n : (k*a_k)/n }| <
> | SOMATÓRIO{k=1...n_1 : (k*a_k)/n } | + | SOMATÓRIO{k=n_1+1...n :
> (k*a_k)/n } | <
> | (n_1/n)*SOMATÓRIO{k=1...n_1 : a_k }| + |SOMATÓRIO{k=n_1+1...n : a_k}| <
> (E) * |(S+E)| + E = E(|S + E| + 1)
>
> O primeiro (E) é por que n > n_3. O segundo |S+E| é por que n > n_1. E o
> terceiro E é por que n > n_2.
>
> Claro que tomando o E muito pequeno tornamos E(|S + E| + 1) o quao pequeno
> quanto quisermos. Portanto o limite que tu perguntou é zero.
>
> Está certo isso?
>
> Que outra demonstração você tinha em mente?
>
> Um abraço!
>
> Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.
>
> PS. Villard, e outros interessados: o que você acha de fazermos uma lista
> para discutirmos problemas universitários?
>
>
> >From: Rodrigo Villard Milet
> >
> >
> >Talvez a questão que estou enviando seja fácil... mas quero ver se alguém
> dá >alguma solução elegante pra ela... lá vai :
> >Sabe-se que somatório { a(n) } converge. Calcular lim
> [(1/n)*somatório(k*a>(k))], onde o somatório vai de 1 até n e o limite é
qd
> n-> +oo.
> >Abraços,
> > Villard
> >
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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