[obm-l] Re: [obm-l] Quest�o : s�rie/sequ�ncia

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

E a�, Villard?

Espero que essa solu��o seja suficientemente elegante. :)

Fixe um E > 0. (esse � o epsilon dos livros de an�lise)
Suponha S = SOMAT�RIO{k=1...infinito : a_k} e s_n = SOMAT�RIO{k=1...n : a_k}

Pela defini��o, existe um n_1 tal que n > n_1 implica
|S - s_n | < 2E ou ainda
| SOMAT�RIO{k=n+1...infinito : a_k}| < 2E

Mantenha esse n_1 fixado.
Essa �ltima implica que existe um n_2 tal que se n > n_2 ent�o
| SOMAT�RIO{k=n_1+1...n : a_k}| < E

Agora escolha um n_3 > n_2 tal que se n > n_3 ent�o
(n_1 / n) < E

Repito os passos: escolhemos o n_1 tal que S_n fosse perto do limite para
todo n > n_1
A� escolhemos um n_2 para que |s_n - s_(n_1+1)| fosse pequeno para todo n >
n_2
Por fim, escolhemos um n_3 maior que n_1 e n_2 tal que (1/n) * n_1 < E

Suponha que n > n_3 ent�o
| SOMAT�RIO{k=1...n : (k*a_k)/n }| <
| SOMAT�RIO{k=1...n_1 : (k*a_k)/n } | + | SOMAT�RIO{k=n_1+1...n :
(k*a_k)/n } | <
| (n_1/n)*SOMAT�RIO{k=1...n_1 : a_k }| + |SOMAT�RIO{k=n_1+1...n : a_k}| <
(E) * |(S+E)| + E = E(|S + E| + 1)

O primeiro (E) � por que n > n_3. O segundo |S+E| � por que n > n_1. E o
terceiro E � por que n > n_2.

Claro que tomando o E muito pequeno tornamos E(|S + E| + 1) o quao pequeno
quanto quisermos. Portanto o limite que tu perguntou � zero.

Est� certo isso?

Que outra demonstra��o voc� tinha em mente?

Um abra�o!

Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.

PS. Villard, e outros interessados: o que voc� acha de fazermos uma lista
para discutirmos problemas universit�rios?


>From: Rodrigo Villard Milet
>
>
>Talvez a quest�o que estou enviando seja f�cil... mas quero ver se algu�m
d� >alguma solu��o elegante pra ela... l� vai :
>Sabe-se que somat�rio { a(n) } converge. Calcular lim
[(1/n)*somat�rio(k*a>(k))], onde o somat�rio vai de 1 at� n e o limite � qd
n-> +oo.
>Abra�os,
> Villard
>

=========================================================================
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista � <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================