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[obm-l] Re: [obm-l] Uma soluçao bonitinha do problema 5 da IMO da India(Erdös-Mordell na veia!!!!!)

To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Uma soluçao bonitinha do problema 5 da IMO da India(Erdös-Mordell na veia!!!!!)
From: peterdirichlet@xxxxxxxxxxxxxx
Date: Wed, 29 May 2002 13:54:18 -0300
In-Reply-To: <3CF2718E0000146D@www.zipmail.com.br>
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx



-- Mensagem original --

>Problema 5-IMO 1996(Bombaim,India) Seja ABCDEF um hexagono convexo tal
que
>AB  e paralelo a DE, BC e paralelo a EF,e CD e paralelo a FA. Sejam R_A,
>R_C, R_E os circunraios dos triangulos FAB, BCD, DEF respectivamente,e
seja
> p o perimetro do hexagono. Prove que:
>
>                   R_A + R_C + R_E >= p/2. 
>
>Esse problema foi considerado "O Imortal"(o menos respondido de toda a
historia
>da IMO):apenas 2 romenos e 4 armenios resolveram-no completamente.TODA
A
>EQUIPE CHINESA ZEROU ESTE PROBLEMA!!!!!!!A soluçao  mais bonita e a do
estudante
>romeno Ciprian Manolescu,o unico Perfect Score(pontuaçao maxima:42 pontos)da
>prova.Ele baseou-se na famosa Desigualdade de Erdös-Mordell.Aqui,mostrarei
>esta soluçao.
>
>Para aplicar Erdös-Mordell neste problema(esta ideia e bem razoavel,ja
que
>a expressao sugere isto),e bom que ponhamos tudo para dentro!Traçando os
>paralelogramos MDEF,NFAB,PBCD,e o triangulo XYZ tal que ZY e perpendicular
>a BP,XZ a DM e XY a FN,e tal que o hexagono fique inscrito ao triangulo
>XYZ,pode-se reescrever a desigualdade.Veja que os triangulos DEF e DMF
sao
>semelhantes,logo tem o mesmo circunraio.Mas XM e o diametro do circuncirculo
>do triangulo DMF(ou do quadrilatero DMFX se preferir).Logo XM=2*RA.E portanto
>vamos provar que XM+YN+ZP>=BN+BP+DP+DM+FM+FN,o que equivale ao problema
>inicial. 
>
>Vamos quebrar isso em dois casos:
>1)M,N e P coincidem.E o problema se transforma em Erdös-Mordell.
>2)MNP e um triangulo.Ai fica mais complicado...Mas a ideia e a mesma.
>Vamos colocar um espelho na bissetriz do angulo ZXY e considerar as imagens
>de X e de Z(X' e Z' nesta ordem).Considere os pes das perpendiculares de
>X e M(H e G,nesta ordem).Sejam tambem x=YZ,y=ZX e z =XY as medidas dos
lados
>de XYZ.E [ABCD...Z] indica a area do poligono ABCD...Z.
>Entao [XZ'M]+[Z'Y'M]+[Y'XM]=[XY'Z'],ou 
>                  
>                    x*XH=x*MG+y*FM+z*MD.
>
>Agora vamos usar a desigualdade triangular em XMG e a desigualdade hipotenusa>cateto
>em XHG(o
>angulo em H e reto):XM+MG>=XG>=XH,logo
>                    XM>=(z/x)*DM+(y/x)*FM.
>E nao e dificil concluir que 
>
> XM+YN+ZP>=z/x*DM+y/x*FM+x/y*FN+z/y*BN+y/z*BP+x/z*DP.      (*)
>
>Daqui sai o fim do problema.Agora,veja que 
>2*(y/z*BP+z/y*BN)=(y/z+z/y)*(BN+BP)+(y/z-z/y)(BN-BP)           
>
>Como os triangulos XYZ e DEF sao semelhantes,podemos definir
>          K=(FM-FN)/XY=(BN-BP)/YZ=(DP-DM)/ZX. 
>Agora,usando Medias,temos que 
>
>              y/z*BP+z/y*BN>=(BP+BN)+K*(y*x/z-z*x/y)
>
>Analogamente obteriamos resultados analogos a este ultimo para os pares
>de lados (x,z) e (x,y).Agora basta substituir todos eles em (*) e acabou!
>   
>
>Esta segunda soluçao e de autoria do lider armenio(o mesmo que o propos).Voce
>pode encontra-la no site http://www.cie.uva.es/algebra/fdelgado/seccion/principal_sem.htm
>                                                           
>
>Let ABCDEF be a convex hexagon such that AB is parallel to DE, BC is parallel
>to EF, and CD is parallel to FA. Let RA, RC, RE denote the circumradii
of
>triangles FAB, BCD, DEF respectively, and let p denote the perimeter of
>the hexagon. Prove that: 
>
>                   R_A + R_C + R_E >= p/2. 
>Solution(Bank)
>
>The starting point is the formula for the circumradius R of a triangle
ABC(Sines
>Theorem):2R = a/sin A = b/sin B = c/sin C. [Proof: the side a subtends
an
>angle 2A at the center, so a = 2R sin A.] This gives that 2RA = BF/sin
A,
>2RC>=BD/sin C, 2R_E = FD/sin E. It is clearly not true in general that
BF/sin
>A >
>BA+AF, although it is true if angle FAB >= 120, so we need some argumentthat
>involves the hexagon as a whole. 
>Extend sides BC and FE and take lines perpendicular to them through A
>and D, thus forming a rectangle. Then BF is greater than or equal to the
>sidethrough A and the side through D. We may find the length of the side
>through
>>>>>A by taking the projections of BA and AF giving AB sin B + AF sin F.
>>Similarly the side through D is CD sin C + DE sin E. Hence: 
>>>>>
>>>>>    2BF >= AB sin B + AF sin F + CD sin C + DE sin E.   Similarly:

>>>>>
>>>>>    2BD >= BC sin B + CD sin D + AF sin A + EF sin E, and 
>>>>>
>>>>>    2FD >= AB sin A + BC sin C + DE sin D + EF sin F. 
>>>>>
>>>>>Hence 2BF/sin A + 2BD/sin C + 2FD/sin E >= AB(sin A/sin E + sin B/sin
>>>A)
>>>>>+ BC(sin B/sin C + sin C/sin E) + CD(sin C/sin A + sin D/sin C) + DE(sin
>>>>>E/sin A + sin D/sin E) + EF(sin E/sin C + sin F/sin E) + AF(sin F/sin
>>>A
>>>>>+ sin A/sin C). 
>>>>>
>>>>>We now use the fact that opposite sides are parallel, which implies
>that
>>>>>opposite angles are equal: A = E, B = E, C = F. Each of the factors
>multiplying
>>>>>the sides in the last expression now has the form x + 1/x which has
>minimum
>>>>>value 2 when x = 1. Hence 2(BF/sin A + BD/sin C + FD/sin E) >= 2p and
>>>the
>>>>>result is proved. 
>>>>>
>>>>>Essa soluçao e a oficial.A mais bonita e a de Ciprian Manolescu,o unico
>>>>> Perfect Score da prova.Ele usou a famosa Desigualdade de Erdös-Mordell.Depois
>>eu envio a resposta dele.
>>ATEEEEEEEEE.Peterdirichlet  
>>
>>TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE
>>CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE
>>Medalha Fields(John Charles Fields)
>>
>>
>>------------------------------------------
>>Use o melhor sistema de busca da Internet
>>Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
>>
>>
>>
>>=========================================================================
>>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>>O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
>>=========================================================================
>>
>
>TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE
>CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE
>Medalha Fields(John Charles Fields)
>
>
>------------------------------------------
>Use o melhor sistema de busca da Internet
>Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
>
>
>
>=========================================================================
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
>=========================================================================
>

TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE
CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE
Medalha Fields(John Charles Fields)


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O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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References:
- [obm-l] Uma soluçao bonitinha do problema 5 da IMO da India(Erdös-Mordell na veia!!!!!)
  - From: peterdirichlet

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